结论：私营医院在劳动合同期内辞退员工是否合法，需根据辞退的具体原因和程序来判断。以下从不同角度进行分析：

1. 合法辞退的情形：

   • 员工存在过错：如果员工存在严重违反医院规章制度、严重失职或营私舞弊给医院造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，医院可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定，无需提前通知即可解除劳动合同，且无需支付经济补偿。例如，医生因严重不负责任导致医疗事故，给医院造成重大损失，医院有权辞退该医生。
   • 经济性裁员：在特定情况下，如医院因经营困难需要裁员，且符合《劳动合同法》第四十一条规定的程序和条件，医院可以进行经济性裁员。但需注意，经济性裁员需提前向工会或全体职工说明情况，听取意见，并将裁员方案报告劳动行政部门，且应优先留用符合特定条件的员工。

2. 违法辞退的情形：

   • 无合法理由辞退：如果医院无法证明员工存在上述过错，或未按照法定程序进行辞退，如未提前通知、未支付经济补偿等，则构成违法辞退。例如，医院仅因员工业绩不佳或个人喜好而辞退员工，且未支付任何补偿，即属于违法辞退。
   • 违反法定程序辞退：即使员工存在过错，医院在辞退时也需遵循法定程序，如提前通知、听取员工意见、出具书面辞退通知等。若医院未履行这些程序，也可能构成违法辞退。

3. 违法辞退的法律后果：

   • 经济赔偿：根据《劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违法解除或终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 恢复劳动关系：在某些情况下，如员工要求继续履行劳动合同，且法院或仲裁机构认为恢复劳动关系可行的，可以判决或裁决恢复劳动关系。

建议：

• 对于员工而言，如果认为医院辞退自己不合法，可以收集相关证据（如劳动合同、辞退通知、工作记录等），向当地劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
• 对于医院而言，在辞退员工时应严格遵守法律法规，确保辞退理由合法、程序正当，避免不必要的法律纠纷。如果确实需要辞退员工，建议提前咨询专业律师，确保操作合规。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。