私立医院不签劳动合同是违法的。以下是从不同角度的详细分析：
一、法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。这一规定适用于所有用人单位，包括私立医院，也适用于所有劳动者，无论其是正式工还是临时工。同时，该法条还明确，已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内完成劳动合同的签订。
二、违法后果
支付双倍工资：
- 如果私立医院自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，应当向劳动者每月支付二倍的工资。例如，若员工在私立医院工作了8个月且一直未签合同，则从第二个月起，医院需支付7个月的双倍工资作为赔偿。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 如果私立医院自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。这意味着，劳动者将享有更稳定的劳动关系和更多的权益保障。
面临行政处罚：
- 私立医院未依法签订劳动合同的行为，还可能面临劳动行政部门的行政处罚，如罚款等。
三、劳动者权益保障
要求签订劳动合同：
- 劳动者有权要求私立医院与其签订书面劳动合同，并明确双方的权利和义务。这是维护劳动者权益的基础步骤。
协商与调解：
- 在发现私立医院未签订劳动合同时，劳动者可以先尝试与医院进行协商，要求签订合同或解决相关争议。
投诉或仲裁：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉私立医院的违法行为，或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。劳动仲裁机构将依法进行裁决，确保劳动者的权益得到保护。
保留证据：
- 在维权过程中，劳动者需要妥善保留相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、通讯记录等，以证明与私立医院存在劳动关系及未签订劳动合同的事实。这些证据对于后续的投诉或仲裁程序至关重要。
四、建议与总结
对于私立医院而言，严格遵守《劳动合同法》的规定，及时与所有劳动者签订书面劳动合同，是避免法律风险和保障劳动者权益的重要举措。对于劳动者而言，如果发现私立医院未依法签订劳动合同，应积极采取措施维护自己的合法权益，包括要求签订合同、协商调解、投诉仲裁等。
如果您在私立医院工作且未签订劳动合同，或者您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。