若事业单位竞聘时单位不组织，员工可采取以下措施来维护自身权益：

1. 了解单位规章制度与政策依据

   • 首先，员工应详细查阅本单位的《岗位设置管理办法》《竞聘上岗实施方案》等相关内部规章制度，确认单位是否有明确的竞聘组织义务及具体流程。若单位规章制度中明确规定了竞聘的组织方式、周期或触发条件（如岗位空缺、定期轮岗等），而单位未履行，则构成违规。
   • 同时，需核对《事业单位人事管理条例》等上位法，确认单位行为是否违反法定程序。例如，根据《事业单位人事管理条例》第八条，事业单位应按照国家有关规定和单位实际制定岗位设置方案，竞聘上岗作为岗位聘用的重要方式，单位无正当理由不得拒绝组织。

2. 与单位沟通协商

   • 员工可先通过书面或口头形式向单位人事部门或分管领导提出疑问，要求单位说明不组织竞聘的原因。若单位以“岗位无空缺”“经费不足”等理由推诿，员工可要求单位提供书面说明，并依据规章制度或政策依据进行反驳。
   • 例如，若单位称“岗位无空缺”，但员工通过查询单位岗位公示信息或内部系统发现存在空缺岗位，可要求单位立即启动竞聘程序；若单位以“经费不足”为由，员工可指出竞聘成本通常由单位承担，且经费问题不属于拒绝组织竞聘的合法理由。

3. 向主管部门或人事综合管理部门投诉

   • 若沟通无果，员工可向单位的主管部门（如教育局、卫健委等）或同级政府人事综合管理部门（如人社局）投诉。投诉时需提交书面材料，包括单位不组织竞聘的事实依据（如规章制度条款、岗位空缺证明、沟通记录等）、单位违规的具体表现及员工诉求（如要求单位限期组织竞聘、赔偿因未竞聘导致的损失等）。
   • 主管部门或人事综合管理部门在收到投诉后，会进行调查核实。若查实单位存在违规行为，会责令单位限期改正；若单位拒不改正，可能面临通报批评、行政处分等处罚。

4. 申请劳动仲裁或提起诉讼（极端情况）

   • 在极少数情况下，若单位长期不组织竞聘且拒绝沟通，导致员工无法通过正常途径获得岗位晋升或薪酬调整，员工可考虑申请劳动仲裁或提起诉讼。但需注意，事业单位人事争议与普通劳动争议在程序上存在差异，需先经过人事争议仲裁前置程序（部分地区可能要求先向单位内部申诉或向主管部门申请调解）。
   • 仲裁或诉讼时，员工需提供充分证据证明单位存在违规行为，并主张因单位不组织竞聘导致的具体损失（如应得岗位工资差额、晋升机会丧失等）。但此类案件胜诉难度较大，建议作为最后手段。

建议：员工在采取行动前，应优先通过沟通协商解决问题，同时保留好相关证据（如规章制度文本、岗位空缺证明、沟通记录等）。若单位行为明显违规且拒绝改正，再通过投诉或法律途径维权。