机关工作人员因病不上班且不履行休假手续，责任归属需视具体情况而定，但通常涉及工作人员自身责任及可能的管理责任。以下从不同角度进行分析：
一、工作人员自身责任
违反单位规章制度：
- 机关单位通常会有明确的规章制度，要求工作人员在因病不能上班时，需及时履行请假手续，如提交病假条、填写请假单等。
- 若工作人员未履行这些手续，即擅自离岗，这明显违反了单位的规章制度，单位有权依据内部规定对其进行相应的纪律处分，如警告、记过、降职等。
可能构成旷工：
- 在未履行请假手续且未获得单位批准的情况下，工作人员因病不上班可能被视为旷工。
- 旷工是严重的违反劳动纪律行为，根据相关规定，单位有权解除与旷工人员的劳动合同（在符合法定条件的情况下），或者对其进行其他形式的处罚。
二、管理责任
单位管理疏忽：
- 如果单位在休假管理方面存在疏忽，如未明确告知工作人员请假流程、未及时审批请假申请等，单位也可能需要承担一定的管理责任。
- 但这种责任通常不是直接的法律责任，而是内部管理上的责任，可能表现为对相关管理人员的问责或改进管理流程。
特殊情况下的责任分担：
- 在某些特殊情况下，如工作人员因突发疾病无法及时履行请假手续，且事后能够提供合理的证明（如医院诊断证明），单位在了解情况后，可能会酌情减轻或免除其责任。
- 但这并不意味着单位完全无责，单位仍需对休假管理制度进行审查和完善，以防止类似情况再次发生。
三、法律建议
对于工作人员：
- 因病不能上班时，务必及时履行请假手续，确保自己的权益不受损害。
- 如因特殊情况无法及时请假，应尽快与单位沟通并说明情况，事后及时补交相关证明材料。
对于单位：
- 完善休假管理制度，明确请假流程、审批权限等关键环节。
- 加强对工作人员的培训和教育，提高其对休假管理制度的认识和遵守意识。
- 在处理类似情况时，应秉持公平、公正的原则，既要维护单位的规章制度，也要考虑工作人员的实际情况和合理诉求。
总结来说，机关工作人员因病不上班且不履行休假手续，责任主要在于工作人员自身，但单位也可能因管理疏忽而承担一定的责任。在处理此类情况时，应综合考虑各种因素，确保既维护单位的规章制度，又保障工作人员的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。