可以申请补偿。根据我国《劳动合同法》的相关规定，结合您描述的情况，我从以下几个角度为您详细分析：
- 未签书面劳动合同的法律后果
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资。这一规定同样适用于您工作满2年的情况：
- 前11个月（第2个月至第12个月）可主张双倍工资差额；
- 第13个月起，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同（需补签书面合同），但此前未签合同的双倍工资差额仍可主张。
- 补偿的具体计算方式
假设您月工资为X元，则可主张的补偿为：
- 双倍工资差额：11个月 × X元（例如月工资5000元，则差额为55,000元）；
- 无固定期限劳动合同的补签：若用人单位拒绝补签，您可要求继续履行合同或主张经济赔偿（需结合具体情节判断）。
- 申请补偿的注意事项
- 时效限制：劳动仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算（即工作满1年后的次日起算）。但司法实践中，部分地区对双倍工资差额的时效起算点存在争议，建议您尽快行动；
- 证据收集：需提供能证明劳动关系存在的证据（如工资流水、工牌、考勤记录、同事证言等）；
- 程序建议：先与用人单位协商，协商不成可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁。
行动建议：
- 整理所有能证明劳动关系的材料；
- 计算应得的补偿金额；
- 尽快向用人单位提出书面主张，或直接申请劳动仲裁。
若您需要进一步帮助（如证据清单、仲裁申请书模板等），可直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细指导。