核心结论：若在有资质的项目公司下，跟随私人老板上班受伤，可按以下步骤走工伤认定及赔偿流程，但具体能否认定为工伤以及赔偿情况需结合实际情况判断。

核心前提

在有资质的项目公司承接项目，私人老板挂靠该项目公司开展工作，员工受私人老板雇佣在该项目上上班时发生骨折受伤。

具体分析

1. 劳动关系认定
   • 与项目公司存在事实劳动关系：如果员工在工作中接受项目公司的管理，遵守项目公司的规章制度，其劳动成果归属于项目公司，即便实际由私人老板安排工作、支付工资，也有可能被认定为与项目公司存在事实劳动关系。在这种情况下，员工受伤后，项目公司作为用人单位，应承担工伤认定申请等责任。
   • 与私人老板存在雇佣关系：若员工主要是受私人老板个人雇佣，为私人老板的利益工作，与项目公司没有直接的管理与被管理关系，那么员工和私人老板之间构成雇佣关系。此时一般不能直接向项目公司主张工伤赔偿，但可根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》的规定，要求私人老板承担人身损害赔偿责任。
2. 工伤认定申请
   • 向项目公司申请：如果认定与项目公司存在事实劳动关系，员工或其近亲属应在事故伤害发生之日起1年内，直接向项目公司所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等材料。
   • 项目公司不申请的处理：若项目公司未在事故发生之日起30日内提交工伤认定申请，在此期间发生符合工伤保险条例规定的工伤待遇等有关费用由该项目公司负担。员工或其近亲属仍可在1年内直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
3. 劳动能力鉴定
   • 员工经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。劳动能力鉴定由用人单位、工伤员工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和员工工伤医疗的有关资料。
4. 赔偿处理
   • 认定为工伤且项目公司参保：如果被认定为工伤，且项目公司为员工参加了工伤保险，那么员工可以享受工伤保险基金支付的工伤医疗费用、康复费用、一次性伤残补助金等费用，同时项目公司需按照规定支付停工留薪期工资、一次性伤残就业补助金等费用。
   • 认定为工伤但项目公司未参保：若项目公司未依法为员工参加工伤保险，根据《工伤保险条例》第六十二条规定，由该项目公司按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。
   • 按雇佣关系处理：如果认定员工与私人老板是雇佣关系，员工可依据《民法典》中关于侵权责任的规定，要求私人老板赔偿医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等费用。赔偿范围和标准根据员工的实际损失以及双方的过错程度等因素确定。

在处理此类问题时，证据的收集至关重要，如工作证、工资支付记录、考勤记录、证人证言等，这些证据有助于证明劳动关系或雇佣关系的存在以及受伤的具体情况。如果对工伤认定、赔偿等问题存在疑问，可直接向我咨询。