结论：劳动合同到期后公司没有续签，员工继续工作半年后提离职，是否有赔偿取决于未续签的原因及具体情况。以下是详细分析：
一、用人单位原因未续签
情形描述：劳动合同到期后，用人单位未与劳动者续签书面劳动合同，但劳动者仍在原单位继续工作，且用人单位对此无异议。
法律分析：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在此情形下，即使劳动者主动辞职，只要未超过仲裁时效（一般为一年），劳动者仍有权要求用人单位支付未续签劳动合同期间的双倍工资差额部分。
赔偿示例：
- 假设您的劳动合同在2024年1月1日到期，公司未与您续签，但您继续在公司工作至2024年6月30日。在此期间，您可以要求公司支付从2024年2月1日起至6月30日的双倍工资差额部分。如果您每月工资为5000元，则可额外获得25000元的赔偿（需扣除已正常发放的工资部分）。
特别说明：
- 在此情形下，您通常无法直接主张经济补偿金，除非用人单位存在其他违法行为（如未及时足额支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费等）导致您被迫辞职。此时，您可依据《劳动合同法》要求用人单位支付经济补偿金。
二、劳动者原因未续签
情形描述：劳动合同到期后，因劳动者个人原因不愿意续签劳动合同。
法律分析：
- 在此情形下，由于未续签劳动合同的责任在于劳动者自身，因此用人单位无需支付双倍工资赔偿或经济补偿金。
举例说明：
- 如果您的劳动合同到期后，公司提出以不低于原合同条件续签劳动合同，但您因个人发展原因拒绝续签并随后辞职。这种情况下，公司无需向您支付任何赔偿。
三、特殊情况下的经济补偿
- 如果劳动合同到期后，用人单位降低了原来的劳动条件导致您未续签，并且您因此辞职，那么您有权要求用人单位支付经济补偿。
- 经济补偿的标准按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
四、建议措施
- 收集证据：无论哪种情况，您都应收集证明劳动关系、工作时间、工资待遇的证据，如工资条、考勤记录、工作证等，以便在需要时维权。
- 及时沟通：如果劳动合同即将到期或已经到期未续签，建议您及时与用人单位沟通，了解未续签的原因，并表达自己的诉求。
- 咨询专业意见：如果您对未续签劳动合同后的权益有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。
总结：劳动合同到期后公司没有续签，员工继续工作半年后提离职是否有赔偿，取决于未续签的原因及具体情况。如果是用人单位的原因未续签，您有权要求支付双倍工资差额部分；如果是您个人原因未续签，则用人单位无需支付任何赔偿。同时，在特殊情况下（如用人单位降低劳动条件导致您未续签），您有权要求经济补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。