结论：员工在厂里受伤且鉴定为10级工伤后，向厂里申请赔偿确实会对厂里产生一定影响，但具体影响程度取决于多种因素，包括赔偿金额、厂里的财务状况、是否购买工伤保险等。以下从多个角度进行详细分析：

一、法律责任与赔偿义务

1. 法律责任：根据《工伤保险条例》及相关法律法规，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。厂里作为用人单位，有义务承担相应的赔偿责任。

2. 赔偿义务：对于10级工伤，员工有权获得一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等赔偿。这些赔偿项目通常由工伤保险基金支付（如果厂里购买了工伤保险），或者由厂里自行承担（如果未购买工伤保险）。

二、对厂里的具体影响

1. 经济影响：

   • 赔偿金额：10级工伤的赔偿金额因地区、工资水平等因素而异，但通常包括数个月至一年左右的工资作为一次性伤残补助金，以及一定金额的一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金。这些赔偿金额对厂里的财务状况会产生一定影响，尤其是对于规模较小或财务状况不佳的厂里来说，可能构成一定的经济负担。
   • 工伤保险费率：如果厂里购买了工伤保险，工伤事故的发生可能会导致工伤保险费率的上升，从而增加厂里的保险成本。

2. 管理影响：

   • 工伤处理流程：厂里需要投入时间和精力来处理工伤事故，包括申报工伤、配合鉴定、协商赔偿等流程。这些流程可能会分散厂里的管理资源，影响正常运营。
   • 员工关系：工伤事故的发生可能会影响员工对厂里的信任和满意度，进而影响员工关系和团队凝聚力。厂里需要积极应对，采取措施维护良好的员工关系。

3. 声誉影响：

   • 外部形象：工伤事故的发生可能会对厂里的外部形象产生负面影响，尤其是如果事故处理不当或引发社会关注时。这可能会影响厂里的业务合作和客户信任。

三、应对建议

1. 购买工伤保险：厂里应依法为员工购买工伤保险，以分散工伤风险，减轻经济负担。

2. 加强安全管理：厂里应加强工作场所的安全管理，预防工伤事故的发生。这包括提供安全的工作环境、培训员工安全操作技能、定期检查设备等。

3. 积极应对工伤事故：一旦发生工伤事故，厂里应积极应对，及时申报工伤、配合鉴定、协商赔偿等。同时，应关注员工的身心健康，提供必要的帮助和支持。

4. 维护良好的员工关系：厂里应注重维护良好的员工关系，增强员工的归属感和满意度。这有助于减少工伤事故的发生，并在事故发生后更好地应对和处理。

总结与启示：员工在厂里受伤且鉴定为10级工伤后，向厂里申请赔偿确实会对厂里产生一定影响。但厂里可以通过购买工伤保险、加强安全管理、积极应对工伤事故和维护良好的员工关系等措施来减轻这些影响。如果你或你的厂里遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律建议和帮助。