核心结论：根据您描述的情况，您在工作第十五天手指被机器砸到，厂里应当按照《工伤保险条例》及《民法典》的相关规定进行赔偿，具体赔偿项目和标准需根据您的伤情鉴定结果及实际情况确定。以下从工伤保险赔偿和可能的民事赔偿两个角度为您详细分析：

1. 工伤保险赔偿

• 前提条件：若厂里已为您缴纳工伤保险，则赔偿主要由工伤保险基金支付；若未缴纳，则由厂里承担全部赔偿责任。
• 赔偿项目：
  • 医疗费用：包括治疗工伤所需的挂号费、住院费、药费等，由工伤保险基金或厂里支付。
  • 停工留薪期工资：您因工伤暂停工作接受治疗的期间，厂里应按原工资福利待遇支付工资，一般不超过12个月。
  • 护理费：若生活不能自理，厂里应支付护理费。
  • 一次性伤残补助金：根据伤残等级（需劳动能力鉴定确定），由工伤保险基金支付。例如，十级伤残为7个月本人工资。
  • 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：若您与厂里解除劳动关系，厂里或工伤保险基金应支付这两项补助金，具体标准因地而异。
• 流程建议：
  1. 立即报告厂里，并要求厂里在30日内申请工伤认定；若厂里未申请，您或近亲属可在1年内直接向社保部门申请。
  2. 伤情稳定后，申请劳动能力鉴定（伤残等级鉴定）。
  3. 根据鉴定结果，与厂里协商赔偿；协商不成，可申请劳动仲裁或诉讼。

2. 可能的民事赔偿（若厂里存在过错）

• 前提条件：若厂里未提供安全的工作环境、未进行安全培训、未提供必要的劳动保护用品等，导致您受伤，厂里存在过错，您可主张民事赔偿。
• 赔偿项目：
  • 医疗费、误工费、护理费：与工伤保险赔偿重叠部分，按“就高不就低”原则处理（即若工伤保险赔偿低于民事赔偿，可要求厂里补足差额）。
  • 残疾赔偿金：若构成伤残，按《民法典》及人身损害赔偿标准计算，通常高于工伤保险中的一次性伤残补助金。
  • 精神损害抚慰金：若伤情严重，可主张精神损害赔偿。
• 流程建议：
  1. 收集证据（如现场照片、证人证言、安全培训记录等），证明厂里存在过错。
  2. 与厂里协商民事赔偿；协商不成，可直接向法院起诉。

综合建议

1. 优先申请工伤认定：这是获得赔偿的前提，且时效性较强（1年内）。
2. 保留所有证据：包括医疗记录、工资单、劳动合同等，以备后续维权。
3. 咨询专业意见：若伤情复杂或厂里拒绝赔偿，建议直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细方案。

温馨提示：工伤赔偿涉及程序较多，建议尽快行动，避免因时效问题影响权益。如有疑问，欢迎随时向我提问。