结论：员工否认签署文件并涉及虚假诉讼时，公司能否开除该员工，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

一、从劳动合同解除的法定条件角度

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同需符合法定条件，如员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。若员工否认签署文件并涉及虚假诉讼，公司需首先证明该员工的行为确实构成了严重违反规章制度或给公司造成了重大损害。

1. 若员工行为构成严重违反规章制度：

   • 公司需有明确的规章制度，且该制度已向员工公示或告知。
   • 规章制度中应明确规定，员工否认签署重要文件或涉及虚假诉讼等行为属于严重违反规章制度。
   • 公司需提供充分证据证明员工确实存在上述行为，如文件签署记录、监控录像、证人证言等。

2. 若员工行为给公司造成重大损害：

   • 公司需证明员工的行为与损害结果之间存在直接因果关系。
   • 损害结果需达到“重大”程度，这通常需要根据公司的实际情况和损失情况进行判断。

二、从证据收集与举证责任角度

在处理此类纠纷时，证据的收集与举证责任至关重要。

1. 公司需积极收集证据：

   • 包括但不限于文件签署记录、监控录像、员工工作记录、证人证言等，以证明员工确实存在否认签署文件或涉及虚假诉讼的行为。
   • 若涉及虚假诉讼，公司还需收集相关诉讼材料、法院判决等证据。

2. 举证责任在公司：

   • 根据“谁主张，谁举证”的原则，公司需承担举证责任，证明员工的行为符合解除劳动合同的法定条件。
   • 若公司无法提供充分证据，则可能面临败诉风险，无法合法解除劳动合同。

三、从法律程序与风险防范角度

在处理此类纠纷时，公司还需注意法律程序与风险防范。

1. 遵循法律程序：

   • 在解除劳动合同前，公司应依法通知工会或职工代表大会，并听取其意见。
   • 解除劳动合同后，公司应依法向员工支付经济补偿金（如适用）并办理相关手续。

2. 风险防范：

   • 公司应建立健全的规章制度，明确员工行为规范及违约责任。
   • 加强员工培训与教育，提高员工法律意识与诚信意识。
   • 在签署重要文件时，可采取录音录像、指纹识别等措施确保文件签署的真实性。

四、特殊情况下的处理

若员工否认签署的文件涉及公司核心利益或重大决策，且公司有充分证据证明员工存在欺诈行为，公司可考虑通过法律途径追究员工的法律责任，如提起民事诉讼要求员工承担赔偿责任等。同时，公司也可根据内部规章制度对员工进行相应处罚，但需确保处罚的合法性与合理性。

建议：在处理此类纠纷时，公司应保持冷静与理性，积极收集证据并遵循法律程序。若无法自行处理或存在疑问，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议与帮助。