核心结论：工作五年被工厂开除，赔偿问题需分情况讨论，主要取决于工厂开除的合法性。若工厂违法解除劳动合同，您有权获得赔偿金；若工厂合法解除，则可能无需支付赔偿金，但需支付经济补偿金（如有法定情形）。以下是具体分析：

1. 工厂违法解除劳动合同的情形

• 法律依据：根据《劳动合同法》第48条、第87条，若工厂无法证明开除您的合法性（如未提供充分证据证明您存在严重违纪、不能胜任工作等法定解除情形），则构成违法解除。
• 赔偿标准：您有权要求工厂支付赔偿金，计算方式为：工作年限 × 2 × 月工资（即每工作一年支付两个月工资）。您工作五年，赔偿金为10个月工资。
• 月工资定义：指劳动合同解除前12个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。

2. 工厂合法解除劳动合同的情形

• 法定解除情形：若工厂能证明您存在《劳动合同法》第39条（如严重违纪、被追究刑事责任等）或第40条（如不能胜任工作、客观情况重大变化等）规定的情形，且程序合法（如提前通知、支付代通知金等），则解除合法。
• 经济补偿金：若解除符合第40条情形（如不能胜任工作），工厂需支付经济补偿金，计算方式为：工作年限 × 1 × 月工资（即每工作一年支付一个月工资）。您工作五年，经济补偿金为5个月工资。
• 无补偿情形：若解除符合第39条情形（如严重违纪），工厂无需支付经济补偿金或赔偿金。

3. 其他注意事项

• 社保与公积金：工厂需为您缴纳社保至离职当月，并协助办理社保转移手续。若未缴纳，您可向社保部门投诉要求补缴。
• 未签书面合同：若工厂未与您签订书面劳动合同，您可主张双倍工资差额（最多11个月工资），但需在离职后1年内提出。
• 加班费与年休假：若工厂未支付加班费或未安排年休假，您可一并主张相应补偿。

4. 行动建议

• 收集证据：保留劳动合同、工资条、考勤记录、开除通知等证据，以证明工作年限、工资水平及工厂违法事实。
• 协商解决：优先与工厂协商赔偿事宜，若协商不成可申请劳动仲裁。
• 申请仲裁：向工厂所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，主张赔偿金或经济补偿金。

提示：劳动争议案件时效为1年，自离职之日起计算。若您需进一步分析工厂开除的合法性或计算具体赔偿金额，可直接向我咨询，我将结合您的证据提供详细方案。