结论前置：公司忘记与员工续签合同，根据不同情况，公司可能需要承担不同的法律责任，但总体而言，公司应及时与员工补签合同，并可能需要支付未签合同期间的双倍工资差额（在特定条件下）。以下是具体分析：

1. 法律背景与规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
   • 如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的权益，防止用人单位利用优势地位逃避签订劳动合同的责任。

2. 公司忘记续签合同的情况分析：

   • 情况一：合同到期后未续签但继续用工：如果公司忘记与员工续签合同，但员工继续在公司工作，那么从合同到期后的第二天起，公司就可能面临支付双倍工资的风险。因为此时，公司实际上已经与员工形成了事实上的劳动关系，但未签订书面合同。
   • 情况二：合同到期后未续签且未继续用工：如果合同到期后，公司既未与员工续签合同，也未继续用工，那么双方之间的劳动关系自然终止。但公司仍需注意，如果员工在合同到期后的一段时间内（如一个月内）仍为公司提供了劳动，公司也可能需要支付相应的工资和可能的双倍工资差额。

3. 法律建议与行动步骤：

   • 及时补签合同：一旦发现忘记与员工续签合同，公司应立即与员工联系，协商补签合同的事宜。补签合同时，应明确合同的起始日期、工作内容、工资待遇等关键条款，以确保合同的合法性和有效性。
   • 支付双倍工资差额（如适用）：如果根据法律规定，公司需要支付未签合同期间的双倍工资差额，那么公司应尽快计算并支付这笔费用。双倍工资差额的计算公式通常为：未签合同期间的月工资×未签合同的月数（但不超过11个月，因为自用工之日起满一年未签订书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同）。
   • 加强内部管理：为避免类似情况再次发生，公司应加强内部管理，完善劳动合同管理制度。例如，可以设立专门的合同管理岗位或部门，负责合同的签订、续签、变更和解除等事宜；或者建立合同提醒机制，确保在合同到期前及时与员工续签合同。

4. 可能的法律后果：

   • 如果公司未及时与员工补签合同或未支付双倍工资差额，员工可能会向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。一旦仲裁或诉讼成立，公司不仅需要支付双倍工资差额和可能的赔偿金，还可能面临声誉损失和行政处罚等不利后果。

总结与进一步思考：公司忘记与员工续签合同是一个需要高度重视的问题。为了避免法律风险和维护公司的声誉，公司应及时与员工补签合同，并支付可能的双倍工资差额。同时，公司还应加强内部管理，完善劳动合同管理制度，以防止类似情况再次发生。如果你或你的公司遇到了类似的问题，或者有任何其他法律疑问，都可以直接向我咨询。