如果员工在公司期间生病，而公司想要解除劳动关系，员工可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
了解公司解除劳动关系的合法性：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动关系必须基于合法、合理的理由，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任等。若员工仅因生病，且不属于法定解除劳动合同的情形（如严重失职、营私舞弊等），公司无权单方面解除劳动关系。
- 若公司违法解除：员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据员工在公司的工作年限和月工资来计算。
收集并保留证据：
- 员工应收集并保留与公司解除劳动关系相关的所有证据，包括但不限于劳动合同、工资单、病假证明、公司解除劳动关系的通知或邮件等。
- 这些证据将有助于员工在后续的法律程序中证明自己的权益受到侵害。
与公司协商：
- 在采取法律行动之前，员工可以尝试与公司进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。例如，员工可以提出继续履行劳动合同、调整工作岗位或支付一定的经济补偿等。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的一种快速、有效的途径。
- 在申请劳动仲裁时，员工需要提交仲裁申请书、相关证据材料以及身份证明等文件。
提起诉讼：
- 如果员工对劳动仲裁结果不满意，或者公司拒绝履行劳动仲裁裁决，员工可以向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，员工需要提供充分的证据来证明自己的主张，并遵循法院的诉讼程序。
针对您可能关心的几个具体问题，我进一步说明如下：
- 关于病假期间的工资支付：根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，员工在病假期间享有病假工资或疾病救济费。具体标准可能因地区和公司政策而异，但通常不会低于当地最低工资标准的80%。
- 关于医疗期的规定：员工因病或非因工负伤需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，公司不得解除劳动合同。
- 关于经济补偿的计算：如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。经济补偿金则根据员工在公司的工作年限（每满一年支付一个月工资的标准）和月工资（劳动合同解除前十二个月的平均工资）来计算。
最后，我建议您：在面对公司想要解除劳动关系的情况时，保持冷静并收集相关证据。如果可能的话，先尝试与公司进行协商以寻求和解。如果协商无果或公司态度强硬，请及时寻求法律帮助以维护自己的合法权益。您可以直接向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。