结论：食堂厨师因手劳损无法继续工作，是否可以提离职并要求赔偿，需根据具体情况判断。若手劳损属于职业病或工伤，且符合法定条件，可以提出离职并要求相应赔偿；若不属于职业病或工伤，或不符合法定条件，则可能无法直接要求赔偿，但可依据劳动合同法相关规定处理离职事宜。
分析如下：
若手劳损属于职业病或工伤：
- 职业病认定：根据《中华人民共和国职业病防治法》，职业病是指企业、事业单位和个体经济组织等用人单位的劳动者在职业活动中，因接触粉尘、放射性物质和其他有毒、有害因素而引起的疾病。若厨师的手劳损是由于长期从事厨师工作，如频繁切菜、炒菜等导致的职业性损伤，且经过职业病诊断机构诊断为职业病，那么该劳损就属于职业病范畴。
- 工伤认定：根据《工伤保险条例》，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，或者从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的，等情形，应当认定为工伤。若厨师的手劳损是在工作过程中因工作原因导致的，且符合工伤认定的其他条件，那么该劳损就可以被认定为工伤。
- 离职与赔偿：若手劳损被认定为职业病或工伤，且厨师因此无法继续从事原工作，根据《劳动合同法》和《工伤保险条例》的相关规定，厨师有权提出离职，并要求用人单位支付工伤医疗待遇、一次性伤残补助金等赔偿。具体赔偿项目和标准需根据工伤等级和当地相关规定确定。
若手劳损不属于职业病或工伤，或不符合法定条件：
- 非职业病或工伤情况：若厨师的手劳损并非由于工作原因导致，或者虽然与工作有关但不符合职业病或工伤的认定条件，那么该劳损就不属于职业病或工伤范畴。
- 离职处理：在这种情况下，厨师若因手劳损无法继续工作，可以依据《劳动合同法》的相关规定，与用人单位协商解除劳动合同，或者提前三十日以书面形式通知用人单位解除劳动合同。但此时，厨师可能无法直接要求用人单位支付因手劳损导致的赔偿。
- 其他权益：虽然厨师可能无法直接要求赔偿，但若用人单位存在过错，如未提供必要的劳动保护条件等，导致厨师手劳损加重或无法及时治疗，厨师可以依法追究用人单位的责任，并要求相应的赔偿。
建议：
- 及时诊断与认定：若厨师怀疑自己的手劳损属于职业病或工伤，应及时到职业病诊断机构或工伤保险定点医疗机构进行诊断，并按照规定程序申请工伤认定。
- 与用人单位协商：在离职和赔偿问题上，厨师应与用人单位进行充分协商，尽量达成一致意见。若协商不成，可以依法向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。
- 寻求法律帮助：若厨师在离职和赔偿问题上遇到困难或争议，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。