公司想开除员工又不想付赔偿金，这种做法在法律上通常是不被允许的，除非公司能够证明员工存在法定可以被解除劳动合同且无需支付赔偿金的情形。以下从多个角度为你详细分析：

一、公司合法解除劳动合同且无需支付赔偿金的情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司只有在以下特定情形下解除劳动合同，才无需向员工支付赔偿金：

1. 员工存在过错：
   • 员工在试用期间被证明不符合录用条件的；
   • 员工严重违反用人单位的规章制度的；
   • 员工严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
   • 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
   • 员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效的；
   • 员工被依法追究刑事责任的。

分析：如果公司能够证明员工存在上述任一情形，那么公司可以合法解除劳动合同，且无需支付赔偿金。但公司需要承担举证责任，即提供充分的证据证明员工的过错行为。

1. 经济性裁员：
   • 在某些特定情况下，如公司依照企业破产法规定进行重整的、生产经营发生严重困难的、企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的等，公司可以进行经济性裁员。

分析：经济性裁员需要满足一定的条件和程序，如提前向工会或者全体职工说明情况、听取工会或者职工的意见、向劳动行政部门报告等。而且，即使在经济性裁员的情况下，公司也需要按照法律规定向员工支付经济补偿金，而非赔偿金（但在此情境下，我们讨论的是无需支付“赔偿金”的合法解除情形，经济性裁员虽需支付补偿金，但非因违法解除而产生的赔偿金，故仍属合法解除范畴内的讨论）。不过，若公司未依法进行经济性裁员，如未提前说明、未听取意见等，则可能构成违法解除，需要支付赔偿金。

二、公司违法解除劳动合同的后果

如果公司无法证明员工存在法定可以被解除劳动合同且无需支付赔偿金的情形，而擅自解除劳动合同，那么公司的行为将构成违法解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司违法解除劳动合同的，应当向员工支付赔偿金。赔偿金的计算标准为：按照员工在公司工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付一个月工资的经济补偿。

举例：假设员工在公司工作了3年，月工资为5000元。如果公司违法解除劳动合同，那么公司需要向员工支付的赔偿金为：3年 × 2个月/年 × 5000元/月 = 30000元。

三、给公司和员工的建议

1. 给公司的建议：

   • 在解除劳动合同前，务必仔细审查员工的劳动合同和公司的规章制度，确保解除行为有法律依据；
   • 如果员工存在过错行为，务必收集充分的证据证明；
   • 如果需要进行经济性裁员，务必按照法律规定的条件和程序进行；
   • 在解除劳动合同后，及时向员工支付应得的经济补偿金或赔偿金，避免引发劳动纠纷。

2. 给员工的建议：

   • 如果公司无故解除劳动合同，可以要求公司支付赔偿金；
   • 如果公司拒绝支付赔偿金，可以向劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；
   • 在申请仲裁或提起诉讼前，务必收集充分的证据证明公司的违法解除行为，如劳动合同、解除通知、工资单等。

综上所述，公司想开除员工又不想付赔偿金，这种做法在法律上通常是不被允许的。如果公司无法证明员工存在法定可以被解除劳动合同且无需支付赔偿金的情形，而擅自解除劳动合同，那么公司的行为将构成违法解除，需要向员工支付赔偿金。如果你或你所在的公司面临类似问题，可以直接向我咨询，我会为你提供更具体的法律建议。