在劳动仲裁过程中，如果公司答应盖章但迟迟不履行，劳动仲裁程序仍然会继续进行。以下是详细分析：

劳动仲裁程序的独立性

劳动仲裁是一个独立的法律程序，其启动和进行并不完全依赖于公司的配合或盖章行为。一旦劳动者向劳动仲裁机构提交了仲裁申请，并满足了受理条件，劳动仲裁机构就会依法受理并展开调查、调解或裁决工作。公司的盖章行为，虽然可能是某些证据或文件生效的必要条件，但并不是劳动仲裁程序能否继续进行的决定性因素。

公司盖章行为的影响

1. 证据效力：如果公司盖章是某些关键证据（如劳动合同、工伤认定书等）生效的必要条件，那么公司迟迟不盖章可能会影响这些证据的效力。然而，这并不意味着劳动仲裁程序无法继续。劳动者可以通过其他方式证明相关事实，如提供其他相关证据、证人证言等。
2. 调解或裁决的履行：在劳动仲裁过程中，如果双方达成调解协议或仲裁机构作出裁决，公司需要按照协议或裁决的内容履行相关义务。如果公司迟迟不盖章，可能表明其不愿意履行调解协议或裁决，但这并不影响调解协议或裁决的效力。劳动者可以依法向人民法院申请强制执行。

劳动者的应对措施

1. 催促公司盖章：劳动者可以与公司沟通，催促其尽快盖章，以便相关证据或文件能够生效。
2. 提供其他证据：如果公司迟迟不盖章，劳动者可以积极寻找并提供其他相关证据，以证明自己的主张。
3. 申请强制执行：如果劳动仲裁机构已经作出裁决，且公司拒绝履行，劳动者可以依法向人民法院申请强制执行。

法律后果

如果公司迟迟不盖章且拒绝履行劳动仲裁机构的裁决，可能会面临以下法律后果：

1. 被强制执行：人民法院可以根据劳动者的申请，对公司采取强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以强制公司履行裁决义务。
2. 承担法律责任：公司还可能因拒绝履行裁决而承担法律责任，如被处以罚款、列入失信被执行人名单等。

建议：在劳动仲裁过程中，劳动者应保持与劳动仲裁机构的沟通，及时了解案件进展情况，并根据需要采取相应的法律措施。如果公司迟迟不盖章或拒绝履行裁决，劳动者可以依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。