结论：九年没签劳动合同，劳动者可以主张的赔偿主要包括未签订书面劳动合同的双倍工资差额（但需注意时效问题，可能无法全额主张）、经济补偿金（若因用人单位未签合同等原因导致解除劳动关系）以及要求用人单位补缴社会保险等。以下是对这些赔偿项目的详细解释：
未签订书面劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：双倍工资差额的计算基数通常是劳动者前十二个月的平均工资（若工作时间不足十二个月，则按实际工作月数计算）。但需注意，这一权利的行使受到一年仲裁时效的限制，即从劳动者知道或应当知道其权利被侵害之日起一年内提出。因此，对于九年未签合同的情况，劳动者可能无法全额主张九年的双倍工资差额，而只能主张最近一年内的（若符合时效条件）。
- 特殊情况：若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同，此时劳动者虽无法再主张双倍工资差额，但可要求确认无固定期限劳动合同关系。
经济补偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条、第四十七条的规定，若因用人单位未与劳动者签订书面劳动合同等原因导致劳动者解除劳动关系的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿金。
- 计算方式：经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。对于九年未签合同的情况，若符合支付经济补偿金的条件，劳动者可主张九个月工资的经济补偿金。
补缴社会保险：
- 法律依据：根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
- 操作方式：劳动者可要求用人单位为其补缴工作期间的社会保险费用，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险等。若用人单位拒绝补缴，劳动者可向当地社会保险行政部门投诉或申请劳动仲裁。
建议与提醒：
- 劳动者在主张上述赔偿时，应尽可能收集并保留与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
- 鉴于劳动争议案件的复杂性和时效性，建议劳动者在发现自身权益受到侵害后尽快咨询专业律师或向当地劳动仲裁机构申请仲裁，以免错过维权时机。
- 在处理劳动争议时，劳动者应保持冷静和理性，通过合法途径维护自身权益，避免采取过激行为导致不必要的法律后果。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。