结论前置：工作九年未签劳动合同的劳动者，有权要求用人单位支付双倍工资（受时效和金额限制）、经济补偿金（在违法解除时加倍），补缴社会保险，并可就其他损失要求赔偿。具体赔偿金额和方式需根据实际情况确定，以下为你详细分析：
一、双倍工资赔偿
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算方式与时效：
- 计算方式：你最多可主张11个月的双倍工资差额，即从用工满一个月的次日至满一年的前一日，这11个月的工资应双倍支付。但需注意，这并不意味着你可以直接获得11个月工资的额外赔偿，而是指这11个月内，用人单位应支付的工资总额是原本应支付工资的两倍（已支付部分需扣除）。
- 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效为一年，从你知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，你需在时效期内提出双倍工资赔偿的主张，否则可能因超过时效而无法获得支持。
二、经济补偿金与赔偿金
正常解除劳动关系：
- 如果用人单位正常解除劳动关系（如合同到期不续签、协商一致解除等），应按工作年限支付经济补偿金。每满一年支付一个月工资，工作九年则支付9个月工资作为经济补偿金。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资）。
违法解除劳动关系：
- 如果用人单位违法解除劳动关系（如无正当理由辞退、未提前通知等），则需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。工作九年则为18个月工资。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = 工作年限 × 月工资 × 2。
三、视为已订立无固定期限劳动合同
- 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。这意味着，即使未签订书面合同，你也享有无固定期限劳动合同员工的权益。但即便如此，用人单位若违法解除劳动关系，仍需承担相应责任。
四、补缴社会保险
- 用人单位有义务为劳动者缴纳社会保险。未缴纳期间，你有权要求补缴。若因未缴纳社保导致你遭受损失（如无法享受医保待遇、养老金减少等），用人单位应承担赔偿责任。
五、其他损失赔偿
- 如果你因未签订劳动合同而遭受其他损失（如工伤待遇损失、未享受带薪年休假等），同样有权要求用人单位赔偿。
六、维权建议
- 证据收集：你应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以备维权之需。
- 时效意识：务必在劳动争议申请仲裁的一年时效期内提出主张，避免权益受损。
- 法律途径：
- 首先尝试与用人单位协商，看是否能达成赔偿协议。
- 协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据和仲裁申请书。
- 对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
示例说明：假设你月工资为5000元，工作九年未签劳动合同，若用人单位正常解除劳动关系，则应支付你45000元经济补偿金（9个月×5000元）；若用人单位违法解除劳动关系，则应支付你90000元赔偿金（18个月×5000元）。同时，你还有权要求用人单位补缴社会保险，并就其他损失要求赔偿。
最后提醒：每个案件的具体情况都有所不同，赔偿金额和方式需根据实际情况确定。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。