结论：公司是否可以在两次固定劳动合同到期后不续签，需分情况讨论，具体如下：

1. 若劳动合同到期时，公司明确表示不续签
   根据《劳动合同法》第四十四条、第四十六条，劳动合同期满终止时，若公司维持或提高原劳动合同条件提出续签，而劳动者拒绝的，公司无需支付经济补偿；但若公司不续签或降低条件导致劳动者不续签的，公司需向劳动者支付经济补偿，标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资（六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资）。
   例如：您与公司签订两次固定期限劳动合同（共6年），若公司不续签，需支付6个月工资作为经济补偿。

2. 若劳动合同到期时，公司未明确表示续签或终止，但劳动者继续工作
   根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，劳动合同期满后，劳动者仍在原用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此时，若公司事后以“劳动合同到期终止”为由解除劳动关系，可能被认定为违法解除，需支付赔偿金（经济补偿标准的2倍）。
   例如：合同到期后您继续工作1个月，公司突然通知终止劳动关系，可能需支付2个月工资作为赔偿金（1个月经济补偿×2）。

3. 特殊情形：连续签订两次固定期限劳动合同后，劳动者要求续签无固定期限劳动合同
   根据《劳动合同法》第十四条，在您与公司连续订立两次固定期限劳动合同，且您不存在严重违反规章制度、不能胜任工作等法定情形时，若您提出续签无固定期限劳动合同，公司应当续签。若公司拒绝续签，可能被认定为违法终止劳动关系，需支付赔偿金。
   例如：您已签订两次3年期合同，且无严重违纪或不能胜任工作的情况，若您要求续签无固定期限合同而公司拒绝，公司需支付赔偿金（按工作年限计算，如6年对应12个月工资）。

建议：

• 若公司明确不续签，您可要求公司出具书面终止通知，并核对经济补偿计算是否合法；
  
• 若公司未明确态度但您希望继续工作，可主动与公司沟通确认劳动关系状态；
  
• 若您符合签订无固定期限劳动合同的条件，可向公司明确提出续签要求，并保留书面证据。
  

如有进一步疑问或需具体计算补偿金额，欢迎随时向我咨询。