关于您提出的“两次劳动合同到期，公司是否可以提出不续签”的问题，这确实是一个涉及劳动法规定和双方权益的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律背景与规定
根据《劳动合同法》的相关规定，当用人单位与劳动者连续订立两次固定期限劳动合同后，若劳动者提出续订无固定期限劳动合同，且不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、严重失职、患病或非因工负伤不能从事原工作等），用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
二、公司提出不续签的情况分析
一般情况：
- 若公司主动提出不续签劳动合同，且不符合上述法律规定的例外情形，则构成违法终止劳动关系。此时，劳动者有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算方式通常为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
特殊情况：
- 如果劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重过错（如严重违纪、失职等），或者符合第四十条第一项、第二项规定的情形（如患病或非因工负伤不能从事原工作、不能胜任工作等），公司可以依法提出不续签劳动合同，并且无需支付经济补偿金（但第四十条情形需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资）。
三、建议与操作指南
公司方面：
- 在劳动合同到期前，公司应提前与劳动者进行沟通，明确双方的续签意愿和期望。
- 若公司决定不续签，应确保符合法律规定的条件，并准备好相应的证据和文件。
- 考虑与劳动者协商达成不续签协议，明确补偿方案，以减少法律风险。
劳动者方面：
- 劳动者应了解自己的权益和义务，包括续签劳动合同的权利和违法终止的赔偿标准。
- 若公司提出不续签，劳动者可以要求公司说明理由并提供补偿方案。
- 劳动者应保存好劳动合同、工资记录、沟通邮件等相关证据，以备不时之需。
四、结论
综上所述，两次劳动合同到期后，公司是否可以提出不续签取决于具体情况和法律规定的条件。若公司主动提出不续签且不符合法律规定的例外情形，则构成违法终止劳动关系，需要承担相应的法律责任。因此，公司在做出决策时应谨慎考虑，并确保符合法律规定的条件。同时，劳动者也应了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。