针对您提出的“连续签订五次固定期限劳动合同，合同到期单位可以不续签吗”这一问题，我们需要结合《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来进行详细解答。
首先，我们要明确的是，法律并未直接规定连续签订五次固定期限劳动合同后单位必须续签或可以不续签。但我们可以根据《劳动合同法》中关于无固定期限劳动合同订立的相关规定来推导和分析。
根据《劳动合同法》第十四条第二款的规定，当用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、严重失职、患病或非因工负伤不能从事工作、不能胜任工作等），当劳动者提出续订劳动合同时，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。这一规定实际上是对用人单位在连续签订两次固定期限劳动合同后的一种约束，旨在保护劳动者的权益，防止用人单位通过频繁签订固定期限劳动合同来规避无固定期限劳动合同的订立。
现在，我们回到您的问题上。虽然法律没有直接规定连续签订五次固定期限劳动合同后的情况，但我们可以合理推断，在劳动者没有法定解除或终止合同的情形，且提出续订劳动合同的情况下，如果用人单位拒绝续签，很可能构成违法解除劳动关系。因为从法律精神来看，连续签订多次固定期限劳动合同后，劳动者已经对用人单位产生了较强的依赖性和信任感，用人单位应当更加谨慎地处理劳动合同的续签问题。
当然，如果劳动者存在《劳动合同法》第三十九条或第四十条第一项、第二项规定的情形，用人单位是有权不续签劳动合同的，并且无需支付经济补偿金（但第四十条情形需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资）。
综合建议：
对于用人单位：在决定是否续签劳动合同时，应综合考虑劳动者的表现、岗位需求以及双方的协商情况。如果劳动者表现优秀且岗位有持续需求，建议续签并尽可能订立无固定期限劳动合同以稳定劳动关系。同时，无论最终决定如何，都应严格遵守相关法律法规的规定，确保续签过程的合法性和公正性。
对于劳动者：应了解自己的权益和义务，在劳动合同到期前与用人单位进行充分沟通，明确双方的意愿和期望。如果希望续订劳动合同，可以主动提出并表达自己的诉求。
总之，连续签订五次固定期限劳动合同后，单位是否可以续签并不是一个简单的“可以”或“不可以”的问题，而是需要根据具体情况和法律规定来判断。希望以上解答能够对您有所帮助。