第一次劳动合同到期后，单位确实有不续签的权利，但这一行为并非毫无约束，而是需要遵循相关的法律规定。

首先，如果单位选择不续签劳动合同，或者降低劳动合同约定条件导致劳动者不愿意续签，那么单位需要向劳动者支付经济补偿。经济补偿的计算方式是根据劳动者在本单位工作的年限来确定的，具体为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

然而，也有一些特定情况下，单位即使不续签劳动合同也不需要支付经济补偿。例如，如果单位维持或者提高了劳动合同约定的条件，但劳动者选择不续签，那么在这种情况下，单位就无需支付任何经济补偿。

此外，还需要注意的是，有些特定情形下的劳动合同是不能随意终止的。比如，如果劳动者在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年，那么即使劳动合同到期，单位也不能随意终止劳动合同，否则可能构成违法终止，需要向劳动者支付赔偿金。

总的来说，第一次劳动合同到期后单位能否不续签，以及是否需要支付经济补偿，都需要根据具体情况和法律规定来判断。建议单位在合同到期前与劳动者明确续签意向，并清晰告知续签条件；同时，劳动者也应了解自身权益，遇到不续签情况时能够对照规定判断补偿情况，并通过合法途径维权。