关于劳务派遣公司合同6月1日到期后的赔偿问题，需分情况讨论，核心结论如下：

1. 合同到期终止且用人单位不续签的情形
   根据《劳动合同法》第46条、第47条，若劳务派遣单位（用人单位）决定不续签合同，需向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作年限计算，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算；不满6个月的支付半个月工资。
   示例：若劳动者在派遣公司工作3年，则应获得3个月工资的补偿；若工作1年5个月，则补偿1.5个月工资。

2. 合同到期终止但劳动者主动不续签的情形
   若劳动者因个人原因不愿续签合同，且用人单位维持或提高原劳动合同条件，则用人单位无需支付经济补偿。
   例外：若用人单位降低原合同条件（如降低工资、调整岗位等）导致劳动者不续签，仍需按上述标准支付经济补偿。

3. 合同到期前用人单位违法解除合同的情形
   若用人单位在合同到期前以不合理理由（如虚构劳动者违纪）单方解除合同，属于违法解除，需按经济补偿标准的2倍支付赔偿金。
   示例：若劳动者工作2年，用人单位违法解除，则需支付4个月工资的赔偿金。

4. 劳务派遣中的特殊责任划分
   根据《劳务派遣暂行规定》第17条，若因用工单位（实际工作单位）原因导致合同无法续签（如用工单位退回劳动者且无过错），赔偿责任仍由劳务派遣单位承担，但派遣单位可依据与用工单位的协议追偿。

操作建议：

• 劳动者应保留劳动合同、工资流水等证据，确认工作年限及工资基数；
  
• 若用人单位拒绝支付补偿，可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁；
  
• 赔偿金额计算基数为合同终止前12个月的平均工资，需包含奖金、津贴等货币性收入。

如有具体细节（如合同条款、解除理由等），可进一步向我说明，我会为您细化分析。