结论：退租时多收一个月租金且不开发票的行为不合法，可能涉及违反税收管理和合同约定双重法律问题。以下从两个角度展开分析：
一、从税收管理角度：不开发票属于违法行为
根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条、第二十条规定：
- 强制开票义务：销售商品、提供服务或收取费用的单位/个人，在收款时必须向付款方开具发票。房东收取租金属于“提供不动产租赁服务”，无论是否签订合同、是否退租，均负有开票义务。
- 法律后果：若房东拒开发票，税务机关可责令改正并处1万元以下罚款；若存在偷逃税款行为（如未申报租金收入），还可能面临补缴税款、滞纳金及0.5-5倍罚款的处罚。
建议：您可要求房东立即补开发票，若遭拒可向当地税务局举报（拨打12366纳税服务热线），税务机关将介入调查并强制要求开票。
二、从合同履行角度：多收租金可能构成违约
需结合租赁合同条款判断：
- 若合同明确约定“退租时多收一个月租金”：需进一步审查该条款是否属于“霸王条款”（如未显著提示、加重承租人责任）。根据《民法典》第四百九十七条，若该条款显失公平，您有权主张撤销并要求退还多收款项。
- 若合同无此约定：房东单方要求多收租金属于擅自变更合同，您有权拒绝并要求按原合同结算。若房东强行扣款，您可通过诉讼主张返还，并可要求赔偿因维权产生的合理损失（如律师费、诉讼费）。
建议：先与房东协商，出示合同条款要求按约结算；若协商无果，可整理租赁合同、付款记录、沟通记录等证据，向法院提起民事诉讼。
补充提醒
即使房东同意“不开票少交税”，该约定也因违反法律强制性规定而无效。您作为付款方有权要求合规发票，否则可能面临以下风险：
- 无法在企业所得税前扣除租金支出（若您为企业）；
- 未来出售房产时，可能因无法提供完整租金发票被税务机关核查。
如需进一步分析合同条款或协助起草律师函，可随时向我提供具体材料，我将为您制定详细维权方案。