结论：在私企工作超过十年未签合同，您确实有权提起相关法律程序，但具体能否“起诉”以及起诉的内容和结果，需根据您的具体诉求和实际情况来判断。
分析说明：
关于未签劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 如果用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这意味着，即使未签书面合同，您与用人单位之间也已形成了事实上的无固定期限劳动关系。
关于您的诉求：
- 如果您希望确认劳动关系并主张相关权益：由于您已工作超过十年且未签合同，根据法律规定，您与用人单位之间已视为存在无固定期限劳动关系。您可以通过劳动仲裁或诉讼（如果仲裁后不服或仲裁不受理）来确认这一劳动关系，并主张相应的劳动权益，如工资、加班费、社会保险等。
- 如果您希望主张未签合同的双倍工资：需要注意的是，双倍工资的请求权通常受到时效限制。一般来说，您需要在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出仲裁或诉讼。由于您已工作超过十年，这部分请求可能因时效问题而难以得到支持。但这并不影响您主张其他劳动权益。
关于起诉或仲裁的流程：
- 劳动仲裁：通常作为解决劳动争议的前置程序。您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并提供相关证据材料来支持您的诉求。
- 诉讼：如果仲裁后您对结果不服或仲裁不受理您的案件，您可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明您的诉求是合理和合法的。
行动建议：
- 收集证据：包括工资条、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明您与用人单位之间存在劳动关系以及您的工作年限和工资水平等。
- 咨询专业律师：虽然我可以为您提供一些基本的法律指导，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，我建议您在采取行动前咨询一位专业律师，以便更准确地了解您的权益和可能的法律后果。
- 考虑和解或调解：在提起仲裁或诉讼前，您可以尝试与用人单位进行和解或调解。这有助于节省时间和成本，并可能达成一个双方都能接受的解决方案。
后续思考：
- 在处理此类劳动争议时，除了关注法律条款外，还需要考虑实际执行的可能性。例如，即使您赢得了仲裁或诉讼，如果用人单位没有足够的资产来执行判决，您也可能面临难以获得实际赔偿的风险。
- 因此，在采取行动前，您需要对用人单位的财务状况和信誉进行一定的了解和分析。如有需要，可以向专业律师咨询如何进行这方面的调查和分析。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。