结论前置：在连续签订两次固定期限劳动合同后，若公司不再续签，员工是否可以要求继续履行劳动合同，需分情况讨论。一般情况下，若员工不存在法定过错情形，公司应续签无固定期限劳动合同，员工有权要求继续履行；若存在法定不续签情形或员工主动选择固定期限合同，则员工的要求可能无法得到支持。

一、法律依据与合法性分析

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当员工与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度等）和第四十条第一项（医疗期满后不能从事原工作）、第二项（不胜任工作经培训或调岗后仍不胜任）规定的情形时，续订劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，用人单位应当订立无固定期限劳动合同。

同时，《劳动合同法》第四十八条指出，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，员工要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；员工不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。

二、不同情形下的处理规则

1. 用人单位违法不续签

   • 可主张继续履行：如果用人单位在符合签订无固定期限劳动合同的条件下拒绝续签，属于违法终止劳动合同。此时，员工有权依据上述法律规定，要求用人单位继续履行劳动合同。例如，员工甲与公司已连续签订两次两年期固定期限劳动合同，合同到期后公司无正当理由不再续签，甲可以要求公司继续履行劳动合同。
   • 实际履行考量：不过，能否最终继续履行还需考虑实际情况。如果岗位已被他人替代、公司业务发生重大调整导致岗位撤销等，客观上无法继续履行，法院可能不会支持员工继续履行的请求，但会判决用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 存在法定不续签情形

   • 不可主张继续履行：若员工存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，用人单位有权不续签劳动合同，员工不能要求继续履行。比如，员工乙在工作中多次严重违反公司的考勤制度，累计旷工达到公司规定的辞退标准，即使他与公司已签订两次固定期限劳动合同，公司在合同到期后也有权不续签，乙无权要求继续履行合同。

3. 员工主动选择固定期限合同

   • 按约定执行：如果在第二次固定期限劳动合同到期前，员工明确表示愿意续订固定期限劳动合同，并与用人单位达成一致，那么双方应按照新的固定期限合同履行。在这种情况下，合同到期后用人单位不续签，员工一般不能再以应签订无固定期限劳动合同为由要求继续履行，但可以依法主张经济补偿。经济补偿的计算方式同上。

三、建议与行动指南

• 与公司协商：在合同到期前，员工可以与公司进行协商，了解公司不续签的具体原因，并尝试达成续签无固定期限劳动合同的协议。
• 收集证据：如果公司拒绝续签且员工认为公司行为违法，员工应收集相关证据，如劳动合同、工作记录、公司通知等，以备后续维权之需。
• 寻求法律援助：若协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

总之，在连续签订两次固定期限劳动合同后，若公司不再续签，员工是否可以要求继续履行劳动合同需根据具体情况判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。