在探讨连续签订两次劳动合同后，第三次公司是否必须续签的问题时，我们首先要明确的是，这主要取决于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定以及具体的实际情况。
核心原则：
在劳动者没有法定不能续订的情形下，连续签订两次固定期限劳动合同后，用人单位原则上不能随意不续签第三次劳动合同。这是因为，根据《劳动合同法》的相关规定，此时劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同，除非劳动者主动要求订立固定期限劳动合同。
法律依据与详细解释：
法律规定：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反规章制度（第三十九条）、患病或非因工负伤不能胜任工作（第四十条第一项）、不能胜任工作经培训或调整仍不能胜任（第四十条第二项）等情形的，当劳动者提出或同意续订劳动合同时，除劳动者主动要求订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
特殊情况：
- 如果存在上述法定可以解除或不续签的情形，用人单位可以不续签，但需依法支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常依据劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计；不满六个月的支付半个月工资。
法律后果：
- 如果用人单位在无合法理由的情况下拒绝续签第三次劳动合同，则属于违法终止劳动合同。此时，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同，或支付赔偿金（通常是经济补偿金的两倍）。
实际操作与建议：
提前沟通：
- 在劳动合同到期前，劳动者应主动与公司的人力资源部门进行沟通，了解续签的流程和可能的结果。这有助于双方提前做好准备，避免不必要的纠纷。
准备材料：
- 根据公司的要求，劳动者可能需要准备相关的材料或文件以支持续签申请。例如，工作表现证明、培训记录等。
协商条款：
- 在续签劳动合同时，双方应就合同的期限、工作内容、工作地点、劳动报酬等关键条款进行协商并达成一致。如果劳动者希望签订无固定期限劳动合同，应明确表达自己的意愿。
维权途径：
- 如果用人单位拒绝续签且无法给出合法理由，劳动者可以通过协商、投诉、劳动仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。在此过程中，保留好沟通记录、合同等关键证据至关重要。
综上所述，连续签订两次劳动合同后，用人单位在大多数情况下不能随意不续签第三次劳动合同。劳动者应了解自己的合法权益，并在必要时采取适当措施维护自身利益。