关于您提出的“第三次劳动合同公司可以不续签吗”这一问题，我将结合《劳动合同法》的相关规定，为您进行详细解答。

核心结论：在劳动者没有法定不能续订的情形下，连续签订两次固定期限劳动合同后，公司原则上不能随意不续签第三次劳动合同，否则可能构成违法终止劳动合同。

详细分析：

根据《劳动合同法》第十四条的规定，当公司与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，并且劳动者没有严重违反用人单位规章制度（即《劳动合同法》第三十九条规定的情形）以及非因工负伤、不能胜任工作等法定情形（即《劳动合同法》第四十条第一项、第二项规定的情形）时，如果劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，并且未提出订立固定期限劳动合同的要求，那么公司应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。

这一规定明确了在满足特定条件时，公司有义务与劳动者签订无固定期限劳动合同，而不能无故拒绝续签。如果公司违反了这一规定，拒绝与劳动者续签无固定期限劳动合同，那么公司的行为将构成违法，劳动者有权要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿标准的二倍。

特殊情况说明：

当然，公司也并非在所有情况下都必须续签第三次劳动合同。如果存在法定可以解除或不续签的情形，如劳动者严重违反公司规章制度、劳动合同期满但劳动者开始依法享受基本养老保险待遇等，公司可以选择不续签劳动合同。但即便如此，公司也需依法支付经济补偿金，并确保决策过程的合法性和公正性。

经济补偿金计算：

如果公司决定不再与劳动者续签合同，经济补偿金的计算通常依据劳动者在公司的工作年限和月工资来确定。具体来说，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计；不满六个月的支付半个月工资。这一规定旨在保障劳动者的合法权益，确保他们在失去工作后能够得到一定的经济支持。

劳动者维权途径：

如果公司违法不续签劳动合同，劳动者有权采取一系列措施来维护自己的权益。首先，可以尝试与公司协商，争取续签合同或合理补偿。如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉，并提供相关证据。作为最终手段，劳动者还可以提起劳动仲裁或诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。

总结与建议：

综上所述，公司在处理第三次劳动合同续签问题时，应充分了解并遵守《劳动合同法》的相关规定，平衡好公司利益与劳动者权益之间的关系。对于劳动者而言，了解自己的合法权益并知道如何在必要时采取适当措施来维护这些权益是非常重要的。如果您或您身边的人遇到了类似的问题，建议咨询专业的法律人士或劳动监察部门以获取更具体的帮助和指导。