结论：未签订书面劳动合同的情况下，若能证明与私营老板存在事实劳动关系，且受伤符合工伤认定条件，仍可申请工伤认定并享受工伤保险待遇。 以下是具体分析：
一、未签合同不影响事实劳动关系的认定
根据《劳动合同法》及《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），劳动关系成立的核心条件是“实际用工”，而非是否签订书面合同。若您能提供以下证据，可证明与私营老板存在事实劳动关系：
- 工资支付记录：如转账记录、收条等；
- 工作安排证据：如送货单、微信聊天记录、电话录音等，证明老板安排您送菜；
- 工作场所证据：如工作证、工服、工作现场照片等；
- 证人证言：同事、客户等目击者的书面证言。
关键点：即使未签合同，只要老板实际用工并支付报酬，即构成劳动关系，您有权申请工伤认定。
二、工伤认定的核心条件
根据《工伤保险条例》第十四条，工伤需同时满足“工作时间、工作场所、因工作原因”。送菜受伤是否属于工伤，需结合以下情形判断：
- 工作时间：若受伤发生在送菜途中或装卸货物时，通常属于工作时间；
- 工作场所：送菜路线、客户地址、装货地点等均可能被认定为工作场所延伸；
- 工作原因：因执行送菜任务导致的受伤（如交通事故、搬运货物扭伤等），属于工作原因。
例外情形：若受伤是因故意犯罪、醉酒、自残等个人原因导致，则不认定为工伤。
三、申请工伤认定的流程
- 第一步：申请劳动关系确认
若老板否认劳动关系，需先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认事实劳动关系（需提交前述证据）。
- 第二步：申请工伤认定
劳动关系确认后，向当地社保部门提交《工伤认定申请表》、劳动关系证明、医疗诊断证明等材料，申请工伤认定。
- 第三步：劳动能力鉴定
若伤情影响劳动能力，可申请伤残等级鉴定，确定赔偿标准。
- 第四步：主张赔偿
根据鉴定结果，向老板或工伤保险基金主张医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等赔偿。
四、若老板未缴纳工伤保险的赔偿责任
根据《工伤保险条例》第六十二条，若老板未依法缴纳工伤保险，所有工伤赔偿均由老板个人承担，包括：
- 医疗费、康复费；
- 住院伙食补助费、交通食宿费；
- 停工留薪期工资（原工资福利不变）；
- 一次性伤残补助金（根据伤残等级确定）；
- 一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金（离职时支付）。
五、实务建议
- 立即取证：保存送货记录、工资转账记录、医疗单据等，避免证据灭失；
- 及时报警/报案：若因交通事故受伤，立即报警并保留事故认定书；
- 咨询专业律师：工伤认定涉及程序复杂，建议委托律师协助处理，避免因程序错误导致权益受损。
总结：未签合同不影响工伤认定，关键在于证明事实劳动关系及受伤与工作的因果关系。若您能提供充分证据，可依法主张工伤赔偿。如有具体证据或细节需要分析，欢迎进一步向我咨询。