结论：针对员工互殴且都开具抑郁病假、试图讹诈对方的情况，公司应首先确保现场安全并立即报警，随后展开内部调查，根据调查结果依法依规处理，包括可能的纪律处分、工伤认定（如符合条件）以及引导双方通过法律途径解决纠纷。

详细分析：

1. 紧急处理与报警：

   • 确保安全：公司应立即采取措施确保现场安全，防止事态进一步恶化，包括隔离涉事员工、保护现场证据等。
   • 报警处理：由于涉及员工互殴，公司应迅速报警，由警方介入调查，确定双方的责任和伤情。

2. 内部调查：

   • 成立调查小组：公司应成立专门的调查小组，负责收集证据、询问目击者、审查监控录像等，以全面了解事件经过。
   • 记录证据：调查过程中，应详细记录所有相关证据，包括伤情照片、医疗记录、证人证言等，为后续处理提供依据。

3. 依法依规处理：

   • 纪律处分：根据调查结果，如果确认员工存在违规行为（如打架斗殴），公司应依据内部规章制度给予相应的纪律处分，如警告、罚款、解雇等。
   • 工伤认定：
     • 条件审查：如果员工互殴是在工作过程中因工作原因发生，且符合工伤认定的条件（如工作时间、工作场所、因工作原因受到事故伤害等），则可能构成工伤。但通常情况下，员工互殴不属于工伤范畴，除非能证明互殴与工作有直接关联。
     • 申请流程：若符合工伤条件，公司或员工应尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提供相关证据材料。
   • 讹诈行为处理：如果双方试图通过开具虚假抑郁病假等方式讹诈对方或公司，公司应收集证据并报警处理，同时可依据内部规章制度对涉事员工进行严肃处理。

4. 引导法律途径解决：

   • 法律咨询：公司可建议涉事员工咨询专业律师，了解自身权利和义务，以及可能的法律后果。
   • 民事诉讼：如果双方无法就赔偿等问题达成一致，可引导他们通过民事诉讼途径解决纠纷。在此过程中，公司应保持中立态度，不偏袒任何一方。

5. 预防措施：

   • 加强培训：公司应加强对员工的法律法规和职业道德培训，提高员工的法律意识和职业素养，减少类似事件的发生。
   • 完善制度：公司应完善内部规章制度，明确员工行为规范和奖惩措施，为处理类似事件提供制度依据。

后续行动建议：

• 公司应持续关注事件进展，确保处理过程公正、透明。
• 如果涉事员工对公司处理结果不满，可引导他们通过劳动争议调解仲裁或诉讼等法律途径解决。
• 公司应加强与员工的沟通，了解员工需求和心理状态，及时提供必要的支持和帮助。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。