结论：员工到岗上班一个月没签订合同，用人单位并不能随意辞退员工。用人单位在辞退员工时，必须严格遵循法律规定，否则将面临法律责任。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动关系的建立与劳动合同的签订

根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立了劳动关系。这意味着，即使未签订书面劳动合同，只要存在实际的工作关系，就视为已建立劳动关系，并受法律保护。因此，用人单位不能以未签订劳动合同为由随意辞退员工。

二、未签订劳动合同的法律后果

1. 一个月以内：若用人单位在此期限内证明员工不符合录用条件等法定情形，可以辞退员工，且无需支付经济补偿。但这一辞退行为必须基于合法、合理的理由，并遵循相应的程序。

2. 超过一个月不满一年：用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为未签订劳动合同的赔偿。若此时辞退员工且属于违法解除的，还需按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿的计算标准通常为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

3. 满一年：若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同。此时随意辞退员工将构成违法行为，需承担相应的法律责任，包括但不限于支付赔偿金。

三、合法辞退员工的情形

1. 员工存在过错：若员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等（符合《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形），即使未签订劳动合同，用人单位也可解除劳动关系，且无需支付经济补偿。

2. 符合法定无过失性辞退条件：根据《劳动合同法》第四十条，若劳动者患病、非因工负伤后不能从事原工作或另行安排的工作；或不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任；或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致无法履行，且双方未能就变更内容达成协议，用人单位可提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同。在此情况下，虽未签合同，但符合上述条件辞退员工时，用人单位需支付经济补偿。

四、违法辞退员工的后果

若用人单位无上述法定辞退理由而随意辞退未签订劳动合同的员工，则构成违法解除劳动关系。此时，劳动者可要求用人单位继续履行劳动合同；若不要求继续履行或已无法继续履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

五、建议与总结

1. 用人单位应做：

   • 及时与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
   • 在辞退员工时，务必确保行为符合法律规定的情形和程序。
   • 如有任何疑问或争议，应及时咨询专业律师以获取法律帮助。

2. 员工应做：

   • 了解自己的权益和义务，确保与用人单位签订书面劳动合同。
   • 如遭遇违法辞退，可依法维护自己的合法权益。

总结：无论劳动合同是否签订，用人单位在辞退员工时都应严格遵守相关法律法规，确保辞退行为的合法性。同时，为降低法律风险，用人单位应积极与员工签订书面劳动合同，明确双方权益，保障劳动关系的和谐稳定。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。