针对您提出的“合同到期后一个月没给员工签合同，单位可以解除吗”这一问题，我的分析如下：

1. 合同到期未续签的法律后果：

   • 当劳动合同到期后，如果双方未续签但员工继续工作，且用人单位未提出异议，则双方形成事实劳动关系，这种关系同样受到法律保护。
   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，需每月支付二倍工资。若超过一年未订立，则视为无固定期限劳动合同，此时单位不能随意解除劳动关系。

2. 单位能否辞退员工的情形分析：

   • 可合法解除的情形：
     • 劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的过错（如严重失职、营私舞弊等）；
     • 单位依法进行经济性裁员或企业破产重整；
     • 劳动者患病/非因工负伤医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作；
     • 劳动者不胜任工作经培训或调岗后仍无法胜任；
     • 合同订立时的客观情况发生重大变化致使合同无法履行且协商不成。
   • 不可解除的情形（在合同到期未续签且形成事实劳动关系的情况下）：
     • 员工处于孕期、产期、哺乳期；
     • 员工在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力；
     • 员工在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年。

3. 单位辞退员工的程序要求：

   • 如果单位决定辞退员工，必须遵循法定程序，包括提前通知义务（一般需提前三十日书面通知）、经济补偿标准（按每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付补偿金）以及工会监督程序（用人单位单方解除合同需事先将理由通知工会）。

4. 针对您问题的具体结论：

   • 合同到期后一个月没给员工签合同，并不意味着单位可以随意解除劳动关系。单位能否解除，需根据上述可合法解除或不可解除的情形来判断。
   • 如果员工不存在可合法解除的情形，且单位未遵循法定程序进行辞退，那么单位的辞退行为可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求单位支付赔偿金或继续履行劳动合同。

综上所述，单位在合同到期后一个月没给员工签合同的情况下，并不能随意解除劳动关系。如果单位有辞退员工的打算，必须仔细评估员工是否存在可合法解除的情形，并严格遵循法定程序进行操作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。