结论：公司以请9天假为由辞退员工的行为可能涉嫌违法解除劳动合同，您有权通过法律途径维护自身权益，具体分析如下：

一、公司辞退行为的合法性分析

1. 法定解除事由的缺失
   根据《劳动合同法》第三十九条、第四十条，公司解除劳动合同需符合法定情形（如严重违纪、不能胜任工作等）。若您请假事由正当（照顾病危家属属于合理事由），且未违反公司规章制度，公司单方解除合同可能构成违法解除。

2. 医疗期保护的适用性
   若您或家属的病情符合《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》中的医疗期范围（如本人患病需停工治疗），公司不得在医疗期内解除合同。即使医疗期满，公司也需证明您不能从事原工作或另行安排的工作，方可解除。

3. 程序合法性审查
   公司解除合同需履行法定程序，包括提前通知工会、出具书面解除通知、说明理由等。若未履行程序，即使解除理由成立，仍可能被认定为违法。

二、您的权利与救济途径

1. 主张违法解除赔偿金
   若公司行为被认定为违法解除，您可要求公司支付赔偿金，标准为经济补偿金的2倍（经济补偿金=工作年限×月工资）。例如，工作3年可主张6个月工资赔偿。

2. 申请劳动仲裁
   需在离职后1年内向劳动合同履行地或公司所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交证据包括：劳动合同、请假记录、辞退通知、工资流水等。

3. 要求继续履行合同
   若您希望保留工作，可主张公司继续履行劳动合同，并支付仲裁期间的工资损失。

三、实务建议

1. 固定证据

   • 保存请假申请、审批记录（如邮件、OA流程截图）；
   • 留存医院诊断证明、病危通知书等家属病情证据；
   • 收集公司辞退通知、聊天记录等解除合同证据。

2. 协商优先
   可先与公司沟通，明确辞退理由并要求书面说明。若公司拒绝协商，再启动法律程序。

3. 注意时效
   劳动仲裁时效为1年，自离职之日起计算，建议尽快行动。

提示：具体案件需结合请假流程、公司规章制度、家属病情等细节综合判断。若需进一步分析，可直接向我提供更多信息（如请假是否获批、公司规章制度条款等）。