结论：公司不能仅因员工请病假一个月未获批准就直接解除劳动合同。解除劳动合同需遵循法定条件和程序，否则可能构成违法解除，需承担相应法律责任。以下从多个角度进行分析：
一、病假与劳动合同解除的法律规定
病假权利：员工因患病或非因工负伤，有权享受医疗期，并在医疗期内享有病假工资或疾病救济费。医疗期的具体长度根据员工的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。
解除劳动合同的法定条件：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同需满足法定条件，如员工严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。员工请病假并不属于这些法定解除条件之一。
二、公司解除劳动合同的合法途径
协商解除：公司可以与员工协商一致解除劳动合同，但需支付经济补偿金。经济补偿金的标准根据员工在公司的工作年限和月工资确定。
法定解除：若员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反规章制度、严重失职等，公司可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。但请病假一个月未获批准并不构成这些情形。
经济性裁员：在特定情况下，如公司经营发生严重困难等，公司可以进行经济性裁员，但需遵循法定程序，如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、向劳动行政部门报告等，并支付经济补偿金。
三、公司违法解除劳动合同的法律后果
若公司未经法定程序或未满足法定条件而解除劳动合同，可能构成违法解除。根据《劳动合同法》的相关规定，违法解除劳动合同的，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。
四、建议与措施
沟通协商：公司应首先与员工进行沟通协商，了解员工请病假的原因和具体情况，尽量寻求双方都能接受的解决方案。
依法处理：若员工确实存在需要长期病假的情况，公司应依法给予医疗期，并在医疗期内支付病假工资或疾病救济费。若员工医疗期满后仍不能从事原工作或另行安排的工作，公司可以依法解除劳动合同，但需支付经济补偿金。
完善制度：公司应完善内部规章制度，明确病假管理、劳动合同解除等事项的具体流程和标准，以避免类似纠纷的发生。
总结：公司不能仅因员工请病假一个月未获批准就直接解除劳动合同。在处理此类问题时，公司应遵循法定条件和程序，与员工进行沟通协商，并依法给予医疗期和经济补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。