结论：私人小食堂雇佣人未签合同，员工工作三个月后被辞退，员工有权要求赔偿，具体赔偿项目和金额需根据实际情况确定。

分析说明：

1. 劳动关系的确认：

   • 尽管没有签订书面劳动合同，但员工实际为私人小食堂提供了劳动，并接受了其管理，双方即形成了事实劳动关系。

2. 赔偿项目与依据：

   • 工资支付：员工有权要求私人小食堂支付其实际工作三个月的工资。
   • 双倍工资：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，员工除要求支付正常工资外，还有权要求支付另外两个月的双倍工资差额（即额外支付两个月的工资）。
   • 经济补偿：若私人小食堂无正当理由辞退员工，或违反法定程序解除劳动合同，员工有权要求经济补偿。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。在此情况下，员工工作三个月，应获得半个月工资的经济补偿。
   • 赔偿金：如果私人小食堂的辞退行为构成违法解除劳动合同，员工还有权要求赔偿金。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，赔偿金为经济补偿标准的二倍，即员工应获得一个月工资的赔偿金。但需注意，赔偿金与经济补偿不能同时主张，通常根据具体情况选择其中一项进行主张。

3. 维权途径：

   • 协商：员工可以首先尝试与私人小食堂友好协商，要求其支付工资、双倍工资差额、经济补偿或赔偿金。
   • 投诉：如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门提交书面投诉材料，请求其介入调查并依法处理。
   • 仲裁：若劳动监察部门的处理未能满足员工的诉求，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过仲裁程序维护自己的合法权益。
   • 诉讼：如果员工或私人小食堂对仲裁结果不服，可在规定期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼，通过司法程序解决争议。

行动建议：

• 收集证据：员工应尽快收集能够证明劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证件、考勤记录、工作沟通记录等。
• 咨询专业意见：在处理此类复杂问题时，建议员工向我咨询，以获取准确的法律建议和帮助，确保自己的权益得到充分维护。
• 保持冷静与理性：在整个维权过程中，员工应保持冷静与理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免对权益维护造成不利影响。