结论前置：没签劳动合同被私人老板辞退，您有权要求相应的赔偿，具体包括未签劳动合同的双倍工资赔偿以及违法辞退的赔偿金。

一、未签劳动合同的双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在私人老板处工作超过一个月且未签订劳动合同，您有权要求老板支付从第二个月起至离职前一日的双倍工资。

计算方式：

• 计算期限：从用工之日起满一个月的次日开始至离职前一日。
• 计算基数：通常按您应得工资计算，包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴等货币性收入。若您的平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准计算。

实例说明： 假设您于2023年1月1日开始在私人老板处工作，至2023年10月1日被辞退，且期间一直未签订劳动合同。那么，您有权要求老板支付从2023年2月1日起至2023年10月1日的双倍工资。

二、违法辞退的赔偿金

若私人老板无故辞退您，属于违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，您有权要求老板按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

经济补偿计算方式：

• 按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿金；
• 六个月以上不满一年的，按一年计算；
• 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

赔偿金计算方式：

• 赔偿金 = 经济补偿金 × 2

特殊规定：

• 若您月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额计算，且支付年限最高不超过十二年。

实例说明： 假设您在私人老板处工作了8个月，月工资为5000元，且被违法辞退。那么，您应获得的经济补偿金为半个月工资，即2500元。因此，您有权要求的赔偿金为5000元（2500元 × 2）。

三、维权途径与注意事项

1. 收集证据：

   • 在维权过程中，您需要收集关键证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言、工作聊天记录等，以证明自己与用人单位的劳动关系及工作时间、工资待遇等情况。

2. 协商解决：

   • 首先，您可以尝试与私人老板协商解决赔偿事宜，要求支付相应的双倍工资和赔偿金。

3. 法律途径：

   • 若协商不成，您可以向当地劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 对仲裁结果不服的，您还可以向人民法院提起诉讼。

4. 仲裁时效：

   • 劳动争议申请仲裁的时效为一年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，请务必在时效期内及时行动。

四、特别提示

• 若您自身原因拒绝签订劳动合同，且私人老板无过错并记录在案，那么您可能无法获得双倍工资赔偿。但违法辞退的赔偿金仍可根据实际情况主张。
• 具体赔偿金额和方式需根据您的实际情况和法律规定确定。如果您在维权过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。

综上所述，没签劳动合同被私人老板辞退，您有权要求相应的赔偿。请依法维权，通过收集证据、选择适当的维权途径，并在时效期内及时行动。