结论：即使没有签订书面劳动合同，且工资由私人发放，在被辞退的情况下，您仍然有可能主张相应的赔偿。具体能否主张赔偿以及赔偿的数额，需根据实际情况判断，下面我将从不同角度为您详细分析。

一、未签订书面劳动合同的法律后果

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在公司工作了一段时间但未签订书面劳动合同，您有权要求公司支付这段时间的双倍工资差额。

举例：假设您在公司工作了6个月，但一直未签订书面劳动合同，那么您有权要求公司支付5个月（第2个月至第6个月）的双倍工资差额。

二、工资由私人发放的法律影响

工资由私人发放并不影响您与公司之间的劳动关系认定。关键在于您是否实际为公司提供了劳动，以及公司是否接受了您的劳动并支付了报酬。只要您能证明与公司之间存在事实劳动关系，就可以依法主张相关权益。

建议：为了证明事实劳动关系，您可以收集以下证据：工作证、工作服、工资条（即使由私人发放，也可作为辅助证据）、考勤记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等。

三、被辞退后的赔偿主张

1. 经济补偿金：如果公司无正当理由辞退您，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，您有权要求公司支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常是根据您在公司的工作年限和月工资来确定的。

计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）

举例：如果您在公司工作了3年，月工资为5000元，那么您有权要求公司支付15000元的经济补偿金。

1. 赔偿金：如果公司违法辞退您（如未提前通知、未支付经济补偿金等），您还有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的数额通常是经济补偿金的两倍。

计算公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿金

举例：接上例，如果公司违法辞退您，那么您有权要求公司支付30000元的赔偿金。

四、特殊情况下的考虑

• 私人发放工资的性质：如果私人发放工资的行为被认定为是公司行为（如私人是公司的法定代表人或财务负责人等），那么不影响您对公司主张权益。但如果私人发放工资的行为被认定为是个人行为，且无法证明与公司有关，那么可能会增加您主张权益的难度。
• 证据收集：在主张赔偿的过程中，证据的收集至关重要。您需要尽可能收集能够证明您与公司之间存在劳动关系、工资发放情况以及被辞退事实的证据。

五、行动建议

1. 与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解协议，快速解决纠纷。
2. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额、经济补偿金或赔偿金等。
3. 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。

最后，我建议您在处理此类纠纷时保持冷静和理性，尽可能收集相关证据，并咨询专业律师（即我本人）的意见，以便更好地维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。