结论：私人单位没签合同被辞退，员工在一定条件下可以主张双倍工资，但一般不能直接起诉要求三倍工资。具体分析如下：
一、关于未签劳动合同的双倍工资
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
适用条件：
- 用人单位未与劳动者签订书面劳动合同。
- 用工时间超过一个月但不满一年。
- 劳动者能够证明与用人单位存在劳动关系（如工资条、工作证、考勤记录等）。
计算方式：
- 双倍工资的计算基数通常是劳动者实际获得的月工资，包括基本工资、奖金、津贴等。
- 计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（最多11个月）。
主张方式：
- 劳动者可以先与用人单位协商，要求支付双倍工资。
- 协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，可以向人民法院提起诉讼。
二、关于被辞退的三倍工资
一般情况：
- 劳动合同法并未规定被辞退需要支付三倍工资的情形。
- 被辞退时，劳动者通常只能获得经济补偿金或赔偿金，具体取决于辞退的原因和程序。
特殊情况：
- 如果用人单位违法解除劳动合同，劳动者可以要求支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿金的两倍。
- 经济补偿金的标准根据劳动者在用人单位的工作年限和月工资确定，计算公式为：经济补偿金 = 月工资 × 工作年限（每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。
- 因此，在违法解除的情况下，劳动者最多可以获得相当于四个月工资的赔偿金（如果工作年限为一年），但这并非三倍工资。
三倍工资的例外：
- 在某些特定情况下，如用人单位未按照劳动合同约定支付劳动报酬、加班费或者经济补偿等，劳动者可以要求支付加付赔偿金，但加付赔偿金的标准通常不是三倍工资，而是根据具体情况确定。
三、建议与行动
收集证据：
- 劳动者应尽快收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
协商与仲裁：
- 尝试与用人单位协商解决，要求支付双倍工资和经济补偿金/赔偿金。
- 协商不成，及时向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
法律咨询与诉讼：
- 在仲裁或诉讼过程中，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。
- 如果对仲裁结果不服，可以向人民法院提起诉讼。
总结：私人单位没签合同被辞退，员工可以主张双倍工资，但一般不能直接起诉要求三倍工资。在特定情况下，如用人单位违法解除劳动合同，员工可以要求支付赔偿金，但赔偿金的标准也不是三倍工资。因此，建议员工在遇到此类情况时，及时收集证据并寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。