结论：私人老板没签合同辞退工作人员，劳动者依法有权主张相应的赔偿，包括未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿和违法解除劳动合同的赔偿金。

一、确认劳动关系

首先，要确定是否存在事实劳动关系。即使没有签订书面劳动合同，但如果劳动者能提供如工资支付记录、工作证明、考勤记录、同事证言或其他能证明实际工作的材料，这些都可以作为存在劳动关系的证据。这是主张任何赔偿的前提。

二、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。具体计算如下：

• 计算期间：从入职满一个月的次日起开始计算，最长不超过11个月。
• 计算基数：包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。

示例：假设劳动者入职私人店铺满6个月后被辞退，且未签订书面劳动合同，那么劳动者有权主张从入职满一个月的次日起（即第2个月）至第6个月，共5个月的双倍工资赔偿。

三、违法解除劳动合同的赔偿金

如果私人老板无故辞退劳动者，该行为可能构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算方法如下：

• 工作年限确定：从入职之日起计算至被辞退之日，每满一年支付一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 月工资标准：指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若月工资高于当地职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
• 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿的二倍。

示例：假设劳动者在私人店铺工作满1年3个月后被无故辞退，且月工资为5000元，那么劳动者有权主张的经济补偿为1.5个月工资（1年支付1个月，3个月支付0.5个月），即7500元；赔偿金则为经济补偿的二倍，即15000元。

四、维权途径与建议

1. 与老板协商：首先尝试与私人老板协商解决赔偿问题，通过沟通达成和解是最高效的方式。
2. 保留证据：在整个过程中，务必保留好所有与劳动关系和辞退相关的证据，这对后续维权至关重要。
3. 向劳动监察部门投诉：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，由其进行调查和处理。
4. 申请劳动仲裁：若投诉仍无法解决问题，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据以支持自己的主张。
5. 提起诉讼：对仲裁结果不满意时，可在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

在维权过程中，劳动者应充分了解自己的权益和维权途径，积极收集证据，与老板进行协商，并在必要时寻求法律援助或提起诉讼。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。