针对您提出的“当事人申请再审但不停止判决的执行怎么办”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、核心原则与法律依据

首先，需要明确的是，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审，但这并不停止判决、裁定的执行。这一原则旨在维护司法权威，保障权利实现，并平衡救济途径。

二、申请再审并请求中止执行的具体步骤

尽管原则上不停止执行，但当事人仍有机会通过合法程序申请中止执行。具体步骤如下：

1. 准备申请材料：

   • 撰写再审申请书，明确提出中止执行的请求。
   • 在申请书中详细说明申请再审的法定事由（如原判决认定事实的主要证据是伪造的、适用法律错误等）及申请中止执行的理由（如新证据可能推翻原判决、继续执行可能造成不可挽回的损失等）。
   • 附上相关证据材料以支持自己的主张。

2. 提交申请：

   • 将再审申请书及相关证据材料提交给作出原生效裁判的法院或其上一级法院。

3. 等待法院审查：

   • 法院在收到申请后，将对再审申请及中止执行申请进行审查。这可能包括要求当事人补充材料或进行询问。
   • 法院将依据法律规定和实际情况，作出是否中止执行的裁定。

三、特定情况下法院应裁定中止执行的情形

除了通过申请程序外，还存在一些特定情况下法院应当裁定中止执行的情形，包括但不限于：

• 案外人对执行标的提出确有理由的异议；
• 作为一方当事人的公民死亡，需要等待继承人继承权利或者承担义务；
• 作为一方当事人的法人或其他组织终止，尚未确定权利义务承受人；
• 人民法院认为应当中止执行的其他情形。

如果您的申请情况符合上述规定，可以在申请中特别强调，以增加中止执行的可能性。

四、执行中止期间的法律效果

在执行中止期间，执行程序暂时停止，相关执行措施（如查封、扣押、拍卖等）一般不再推进。若再审最终维持原判，执行程序将恢复；若再审改判，则按新的判决内容执行。

五、建议与注意事项

1. 充分准备证据材料：申请中止执行需要充分的证据支持，因此请务必准备详尽、有力的证据材料。
2. 咨询专业律师：申请再审并请求中止执行是一个相对复杂的过程，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。
3. 关注法院审查进度：提交申请后，请保持与法院的沟通，及时了解审查进度和结果。

综上所述，尽管申请再审原则上不停止判决的执行，但当事人仍有机会通过合法程序申请中止执行。希望以上解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询。