当您在工厂提出离职一个月后，若工厂不同意您的离职申请，您可以依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，采取以下详细且有条理的措施来妥善处理这一问题：
一、明确并依法行使辞职权利
试用期离职：
- 如果您目前处于试用期，根据《劳动合同法》第三十七条，您只需提前三日以书面或口头形式通知工厂，即可解除劳动合同。无需等待工厂的批准，三天后您有权要求工厂办理离职手续。
正式员工离职：
- 作为正式员工，您需提前三十日以书面形式（如辞职信、邮件等）通知工厂，明确表达离职意愿，并注明离职日期。三十天后，无论工厂是否同意，您的劳动合同均自动解除，您有权要求工厂办理离职手续。
二、与工厂进行理性沟通
再次表达离职意愿：
- 以书面形式再次向工厂明确表达您的离职意愿，并附上之前的辞职通知作为证据。确保沟通记录清晰可查，以备不时之需。
了解工厂顾虑：
- 尝试与工厂的人力资源部门或上级领导进行沟通，了解他们不同意离职的具体原因。可能是工作交接问题、项目进展影响或招聘困难等。针对这些顾虑，您可以提出合理的解决方案，如协助寻找接替人员、完成关键工作交接等。
三、采取法律手段维护权益
保留证据：
- 保存好所有与离职相关的沟通记录、书面通知、工资条、工作证等证据。这些证据在后续的劳动仲裁或诉讼中可能起到关键作用。
向劳动监察部门投诉：
- 如果工厂仍然拒绝接受辞职或拒绝办理相关手续，您可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门将对此进行调查，并根据调查结果给出处理意见或建议，责令工厂改正违法行为。
申请劳动仲裁：
- 若对劳动监察部门的处理结果不满意，或者工厂仍然拒绝配合，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提供充分的证据来支持自己的主张，如辞职报告、快递底单、沟通记录等。
提起诉讼：
- 在极端情况下，如果工厂的行为严重侵犯了您的合法权益，且您对劳动仲裁结果不满意，您还可以考虑向人民法院提起诉讼，通过司法途径解决争议。
四、注意事项
保持冷静与专业：
- 在处理此类问题时，务必保持冷静和专业态度。避免情绪化行为影响问题解决，与工厂保持理性沟通。
遵守法律法规：
- 在整个过程中严格遵守国家法律法规和工厂规章制度。确保自身行为合法合规，避免给自己带来不必要的麻烦。
寻求专业帮助：
- 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师或法律援助机构的帮助。他们可以提供专业的法律建议和指导，帮助您更好地维护自己的权益。
总之，面对工厂不同意离职的情况，您应了解自己的权利和义务，依法采取相应措施保障自己的权益。通过提交有效的辞职通知、与工厂协商、向劳动监察部门投诉以及申请劳动仲裁或诉讼等途径，您可以有效地维护自己的合法权益。