结论前置：两个员工吵架，公司并不一定需要开除其中一个员工。是否开除应依据公司的规章制度、吵架行为的性质与后果，以及公司处理程序的合法性来综合判断。
一、依据公司规章制度
规章制度的合法性：
- 公司规章制度是处理员工吵架事件的重要依据。首先，要确保规章制度是依法制定并公示的，例如经过民主程序制定、向员工公示等。若规章制度本身存在违法或未经合法程序制定，则不能作为开除员工的依据。
规章制度的内容：
- 若规章制度中明确将员工之间严重的吵架、扰乱工作秩序等行为列为严重违纪情形，且员工吵架行为确实符合这些描述，则公司有权依据规章制度开除员工。但需注意，规章制度应合理合法，不能过于严苛或模糊不清。
二、吵架行为的性质与后果
严重性评估：
- 吵架行为是否严重到足以构成违纪，需根据具体情况评估。例如，办公区域内大声争吵、相互辱骂且严重影响正常工作秩序的行为，更可能被认定为严重违纪。而轻微的口角或短暂争执，若未对工作造成实质性影响，则不宜直接作为开除理由。
特殊情节考虑：
- 若吵架过程中涉及种族、性别、宗教等歧视性言论，或对他人进行严重威胁、暴力等违法行为，即使公司规章制度未明确规定，公司基于维护正常工作环境和合法权益考虑，也有权开除员工。
三、处理程序的合法性
通知与调查：
- 即便员工吵架行为构成严重违纪，公司在开除员工时也需遵循法定程序。公司应首先对吵架事件进行调查，收集相关证据，并确保调查过程的公正性。
陈述与申辩机会：
- 在作出开除决定前，公司应给予员工陈述和申辩的机会，以确保决定的公正性和合理性。员工有权解释吵架的原因、过程及自己的态度，公司应认真听取并考虑。
书面通知与经济补偿：
- 开除决定应以书面形式通知员工，并说明开除的理由和依据。若开除决定被认定为违法，公司可能需支付经济补偿或赔偿金。经济补偿的计算通常依据员工在本单位工作的年限和月工资标准。
四、其他处理建议
批评教育：
- 对于轻微的吵架行为，公司可以采取批评教育的方式，引导员工认识到自己的错误，并承诺不再发生类似行为。
警告处分：
- 若吵架行为较为严重，但尚未达到开除的程度，公司可以给予员工警告处分，以示警戒，并要求员工改正错误。
调解协商：
- 在处理员工吵架事件时，公司也可以尝试调解协商的方式，促进双方和解，维护工作氛围的和谐稳定。
总结与建议：公司在处理两个员工吵架事件时，应综合考虑多方面因素，确保处理决定的公正性、合法性和合理性。开除并非唯一选择，公司应根据实际情况采取相应措施。若您在此类事件中遇到法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律帮助。