结论：员工和员工吵架后被开除，老板的行为是否公平（合法），需根据公司的规章制度、员工行为的严重性、开除程序的合法性以及是否存在不当因素来综合判断。以下从多个角度进行分析：
公司规章制度明确且合法的情况
- 如果公司规章制度中明确规定了员工之间吵架达到一定严重程度（如严重影响工作秩序、造成恶劣影响等）属于严重违纪行为，并且该规章制度是合法制定、经过公示且内容合理的，那么公司以此为由开除员工可能是合法的。
- 举例：假设公司规章制度中明确规定，员工之间发生激烈争吵，影响正常工作秩序，且经警告后仍不改正的，视为严重违反规章制度，公司有权解除劳动合同。若员工确实存在此类行为，且公司有充分证据证明，那么开除行为可能是合法的。
公司规章制度不明确或违法的情况
- 如果公司规章制度中未明确规定员工之间吵架属于严重违纪行为，或者规章制度本身存在违法之处（如过于严苛、不合理等），那么公司以此为由开除员工可能构成违法。
- 举例：若公司规章制度中未提及员工之间吵架的处理方式，或者将一般性的争吵也界定为严重违纪行为，这样的规定可能被视为不合理或违法，公司以此开除员工可能面临法律风险。
开除程序合法性的情况
- 即使公司规章制度中明确规定了员工之间吵架的处理方式，但如果公司在开除员工时未按照法定程序进行（如未事先通知工会、未给予员工陈述和申辩的机会等），那么开除行为也可能构成违法。
- 举例：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，用人单位在解除劳动合同时，应事先通知工会（如有），并给予员工陈述和申辩的机会。若公司未履行这些程序，即使员工确实存在违纪行为，开除行为也可能被认定为违法。
存在报复或歧视的情况
- 如果公司开除员工是出于报复、歧视或其他不当因素，而非因为员工确实存在违纪行为，那么此行为肯定违法。
- 举例：假设员工因向公司提出合理建议或投诉公司不当行为而遭到报复性开除，这种情况下公司的行为显然违法。
员工的权益保护：
- 如果员工认为自身权益受损，首先可尝试与公司协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 如协商无果，可向本单位劳动争议调解委员会申请调解。
- 若调解无法解决问题，员工可向劳动争议仲裁委员会提出书面申请，进行劳动仲裁。劳动仲裁是处理此类劳动争议的必经程序。
- 如员工对仲裁裁决不服，可在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。但用人单位需证明劳动者的行为确实严重违反了规章制度，且该规章制度合法有效。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条规定，若用人单位违法解除劳动合同，需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
总结与建议：
员工和员工吵架后被开除，老板的行为是否合法需根据具体情况综合判断。如果员工认为自身权益受损，建议及时收集证据（如公司规章制度、吵架事件的记录、开除通知等），并通过协商、调解、劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。