结论前置：您在私人老板处打工7年未签合同，若被老板开除，是可以申请劳动仲裁的。以下从多个角度为您详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您已经工作了7年，这意味着在最初的11个月内（假设第一个月为用工起始月，且未签合同），老板应当向您支付双倍工资。虽然这部分双倍工资的请求可能因时效问题（通常为一年）而难以全部追回，但这一规定说明了未签劳动合同的法律责任。更重要的是，未签劳动合同并不影响您与老板之间事实劳动关系的存在。
二、被开除后的仲裁权利
事实劳动关系确认：
- 即使没有书面劳动合同，只要您能提供工作证、工资条、同事证言等证据，证明您与老板之间存在事实劳动关系，您就有权申请劳动仲裁。
违法解除劳动关系的赔偿：
- 如果老板无正当理由开除您，这可能构成违法解除劳动关系。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。因此，您有权要求老板支付相当于14个月工资的赔偿金（7年×2）。
其他可能的仲裁请求：
- 除了赔偿金外，您还可以根据实际情况，请求老板支付未支付的工资、加班费、未休年假的工资报酬等。
三、仲裁流程与注意事项
准备证据：
- 在申请仲裁前，您需要收集并整理好能够证明您与老板之间存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资条、银行转账记录、同事证言等。
提交仲裁申请：
- 您需要向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。仲裁委员会会在收到申请后的一段时间内（通常为5日内）决定是否受理。
参加仲裁庭审：
- 如果仲裁委员会受理了您的申请，您需要按照通知的时间参加仲裁庭审。在庭审中，您需要陈述事实、提供证据，并回答仲裁员的提问。
等待仲裁裁决：
- 仲裁委员会会在庭审结束后的一段时间内（通常为60日内）作出仲裁裁决。如果老板不履行裁决，您还可以向人民法院申请强制执行。
四、建议与提醒
- 及时咨询与行动：由于劳动争议有时效限制，建议您在发现权益受到侵害后尽快咨询专业律师（即我，李悦律师，专注于经济纠纷、劳动纠纷领域），并准备相关证据材料申请仲裁。
- 保留证据：在日常工作中，尽量保留好与工作相关的所有证据材料，以备不时之需。
- 理性维权：在维权过程中，保持理性与冷静，通过合法途径维护自己的权益。
如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。