结论：老板没有和你签合同，你仍然可以申请仲裁；且针对你入职一年零九个月被辞退的情况，你可以主张未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
分析如下：
一、关于未签劳动合同与仲裁申请
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
- 同时，劳动仲裁是解决劳动争议的一种方式，即使未签劳动合同，劳动者也有权通过劳动仲裁来维护自己的合法权益。
实际情况：
- 你入职一年零九个月，老板一直未与你签订劳动合同，这明显违反了劳动合同法的规定。
- 因此，你有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求老板支付未签劳动合同的双倍工资差额。
二、关于被辞退与赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”
- 若老板无正当理由辞退你，则可能构成违法解除劳动合同，需要支付赔偿金，赔偿金为经济补偿的两倍。
实际情况：
- 你已入职一年零九个月，若老板无正当理由将你辞退，则你需要先确认辞退是否合法。
- 如果辞退不合法（如无合理理由、未提前通知等），则你有权要求老板支付违法解除劳动合同的赔偿金，即3个月工资（1.5个月的经济补偿×2）。
- 同时，由于未签劳动合同，你还可以主张从入职第二个月起至离职时的双倍工资差额，即17个月（一年零九个月减去第一个月）的工资。但需注意，根据《劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，因此部分月份的双倍工资差额可能因超过时效而无法主张，具体可主张的月份需根据实际情况和当地司法实践确定。
三、关于月工资的计算与主张
- 你在主张双倍工资差额和赔偿金时，需要明确自己的月工资数额。
- 月工资通常指的是你离职前十二个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等所有货币性收入。
- 你可以根据自己的工资条、银行转账记录等证据来证明自己的月工资数额。
建议：
- 尽快收集相关证据，如工资条、银行转账记录、工作证、同事证言等，以证明你与老板之间的劳动关系以及你的月工资数额。
- 向当地劳动仲裁机构提交仲裁申请，明确你的仲裁请求和事实理由。
- 在仲裁过程中，积极配合仲裁机构的工作，提供必要的证据和材料。
后续行动：
- 如果你对仲裁结果不满意，还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 在整个过程中，如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。