结论：您可以申请仲裁，且基于未签合同和工伤情况，您有权主张多项权益。以下从不同角度为您详细分析：
一、未签合同与申请仲裁的关系
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，因确认劳动关系发生的争议，以及因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议，均属于劳动争议仲裁的受理范围。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
分析：
- 您在公司工作了9天，虽然时间不长，但已经形成了事实上的劳动关系。公司未与您签订书面劳动合同，违反了法律规定。
- 您有权就未签合同的事实向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付未签合同期间的双倍工资差额（即额外支付9天的工资，但考虑到您已收到四个月工资，此部分可能需结合实际情况调整主张）。不过，更核心的是，未签合同的事实可以作为您主张其他权益（如工伤赔偿）时劳动关系存在的证据。
二、工伤情况与申请仲裁的关系
法律依据：
- 《工伤保险条例》第十四条规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。
- 《工伤保险条例》第十七条规定，职工发生事故伤害，所在单位应当自事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按前款规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
分析：
- 您在工作期间受伤，符合工伤认定的条件。公司虽然支付了四个月的工资，但这并不影响您申请工伤认定和享受工伤待遇的权利。
- 如果公司未为您申请工伤认定，您或您的近亲属可以在事故伤害发生之日起1年内，直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 工伤认定后，您可以根据伤残等级享受相应的工伤待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等。如果公司未为您缴纳工伤保险，这些费用将由公司承担。
三、申请仲裁的具体建议
准备证据：
- 收集能够证明您与公司存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
- 收集能够证明您受伤事实的证据，如医疗记录、诊断证明、事故现场照片等。
提交仲裁申请：
- 向公司所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，明确您的仲裁请求（如确认劳动关系、支付未签合同的双倍工资差额、支付工伤待遇等）。
- 附上相关证据材料，并按照仲裁委员会的要求填写申请书和其他表格。
后续行动：
- 等待仲裁委员会的受理和开庭通知，积极参与仲裁过程，陈述事实和理由，提供证据支持您的主张。
- 如果对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
总结与建议：您可以基于未签合同和工伤情况向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张多项权益。在申请仲裁前，请务必收集好相关证据材料，并按照仲裁委员会的要求提交申请。如果您在仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。