结论：在您描述的情况下，不辞工是可以的，但建议您尽量与工厂协商解决离职事宜；同时，尽管没有签劳动合同，您仍然有权要求工厂支付相应的经济补偿。

详细分析：

1. 关于不辞工的问题：

   • 法律角度：根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者有权根据自己的身体状况和实际情况提出离职。虽然您未提及是否已提前通知工厂，但从法律原则上讲，劳动者因身体原因无法继续工作，有权要求离职，且不应因此承担不合理的法律责任。
   • 实际操作建议：尽管法律上允许您不辞工，但为了维护良好的劳动关系和避免不必要的纠纷，建议您尽量与工厂进行协商，说明您的身体状况和离职意愿，争取达成一个双方都能接受的离职协议。

2. 关于没有签劳动合同的问题：

   • 法律角度：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。如果用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资作为补偿（但需注意，这一权利的行使通常受到一定时间限制，如自用工之日起超过一年未签订书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，且双倍工资的请求可能不再支持，但具体还需根据当地司法实践判断）。此外，您还有权要求工厂支付经济补偿金，具体数额根据您在工厂的工作年限和工资水平确定。
   • 经济补偿计算：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您在工厂工作16年，有权要求工厂支付16个月工资作为经济补偿。
   • 实际操作建议：由于您未与工厂签订书面劳动合同，建议您在离职前尽量收集能够证明您与工厂存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于您在后续可能出现的劳动纠纷中维护自己的合法权益。

3. 综合建议：

   • 鉴于您在工厂已经工作了16年，且因身体原因无法继续工作，我建议您尽量与工厂进行友好协商，说明您的实际情况和离职意愿，争取达成一个双方都能接受的离职协议。
   • 如果协商无果，或者工厂拒绝支付您应得的经济补偿，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 在与工厂协商或申请劳动仲裁前，建议您先咨询当地劳动部门或专业律师（当然，您可以直接向我咨询），了解具体的法律程序和注意事项。
• 准备好相关证据材料，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与工厂存在劳动关系以及您的工作年限和工资水平。

希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。