结论：在公司工作了16年没有签劳动合同，可以要求签订无固定期限劳动合同。若公司拒绝或提出不合理要求，您有权通过法律途径维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这意味着，在您已经为公司工作了16年的情况下，即使双方没有签订书面劳动合同，法律上也已经视为您与公司之间存在无固定期限的劳动关系。
二、具体法律建议
要求签订无固定期限劳动合同：
- 您有权向公司提出签订无固定期限劳动合同的要求。这是基于法律对劳动者权益的保护，以及对您长期为公司服务的事实认可。
- 在提出要求时，建议您以书面形式（如邮件、信函等）向公司表达您的意愿，并保留好相关证据，以备不时之需。
应对公司拒绝或提出不合理要求：
- 如果公司拒绝签订无固定期限劳动合同，或者提出不合理的要求（如降低工资、调整岗位等），您有权拒绝并寻求法律援助。
- 在此情况下，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同，并可能获得相应的赔偿（如双倍工资差额等）。
收集证据以支持您的主张：
- 在整个过程中，收集并保留好与工作相关的所有证据至关重要。这包括但不限于工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 这些证据将有助于证明您与公司之间存在劳动关系，以及您的工作年限和工资水平等关键信息。
三、可能的法律后果
如果公司最终同意签订无固定期限劳动合同：
- 这将是对您权益的最好保障，您将继续享有稳定的劳动关系和相应的福利待遇。
如果公司拒绝签订或提出不合理要求，且您通过法律途径维权：
- 您有可能获得劳动争议仲裁委员会或法院的支持，要求公司签订无固定期限劳动合同，并可能获得相应的赔偿。
- 同时，这也将对公司产生一定的法律压力和声誉影响，促使其更加重视劳动者的权益保护。
四、进一步行动建议
- 与公司协商：在采取法律行动之前，您可以尝试与公司进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 咨询专业律师：如果您对法律程序或自身权益保护存在疑问，建议及时咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律意见）。
- 保持冷静和理性：在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击，以免对自身权益造成不利影响。
总之，作为在公司工作了16年的员工，您有权要求签订无固定期限劳动合同。如果公司拒绝或提出不合理要求，您有权通过法律途径维护自己的合法权益。希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。