结论：合同到期后公司迟迟未签订书面合同，员工要求公司补偿后被辞退，能拿到的补偿金额需分情况讨论，主要取决于公司辞退的理由是否合法。
一、若公司违法辞退
法律依据：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。同时，如果用人单位违法解除或者终止劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
补偿计算：
- 双倍工资：从合同到期后次月起，至公司实际签订书面合同或员工离职前一日止，公司应支付双倍工资。但需注意，此双倍工资的支付期限最长不超过11个月（因为从用工之日起满一年未签订书面合同的，视为已订立无固定期限劳动合同）。
- 赔偿金：经济补偿标准为每工作一年支付一个月工资。违法辞退的赔偿金则是经济补偿标准的二倍，即每工作一年支付两个月工资。
- 具体公式：假设员工在公司工作了N年，月工资为M元，则赔偿金为\(2 \times N \times M\)元；双倍工资部分，若工作了X个月（X≤11），则双倍工资差额为\((X-1) \times M\)元（因为第一个月不计算双倍工资）。总补偿金额为赔偿金加上双倍工资差额。
举例：
- 假设员工在公司工作了3年，月工资为5000元，合同到期后公司未续签，6个月后辞退员工。则赔偿金为\(2 \times 3 \times 5000 = 30000\)元；双倍工资差额为\((6-1) \times 5000 = 25000\)元（但实际中，由于双倍工资最长只计算11个月，且此处已超过，所以按实际未签合同的月数计算，即5个月）。总补偿金额为30000 + 25000 = 55000元。
二、若公司合法辞退（但这种情况较为少见，因为合同到期未续签本身公司已存在过错）
法律依据：
- 如果公司能证明辞退员工是出于合法理由（如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等），则公司只需支付经济补偿金，而无需支付赔偿金。但在此情况下，由于合同到期未续签，公司仍需支付未签合同期间的双倍工资（如前所述）。
补偿计算：
- 经济补偿金：每工作一年支付一个月工资。
- 双倍工资：同上。
- 具体公式：经济补偿金为\(N \times M\)元；双倍工资差额计算同上。总补偿金额为经济补偿金加上双倍工资差额。
举例（假设公司合法辞退，但这种情况不常见）：
- 同样假设员工在公司工作了3年，月工资为5000元，合同到期后公司未续签，但6个月后以员工不能胜任工作为由辞退（且能证明）。则经济补偿金为\(3 \times 5000 = 15000\)元；双倍工资差额为25000元（同上例计算）。总补偿金额为15000 + 25000 = 40000元。但需注意，这种情况在实际中较为少见，因为合同到期未续签本身已构成公司过错。
三、特殊情况：公司提出续签但员工拒绝
- 如果公司在合同到期后提出续签书面合同，但员工拒绝，随后公司辞退员工，则员工可能无法获得上述补偿。因为此时公司已履行了续签合同的义务，是员工拒绝续签，公司辞退员工属于合法行为（除非辞退理由本身违法）。
建议：
- 员工应保留好与公司的劳动合同、工资单、工作证等证据，以证明劳动关系和工资水平。
- 在与公司协商补偿事宜时，可明确要求公司支付未签合同期间的双倍工资和违法辞退的赔偿金（如适用）。
- 如果协商无果，员工可向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。