结论前置：针对私企老板知道农民工要工伤认定却不肯补劳务合同的情况，农民工可以通过收集其他证据来证明劳动关系，并依法申请工伤认定和索赔。以下是具体分析和建议：
一、证明劳动关系的途径
收集其他证据：
- 虽然没有劳务合同，但农民工可以收集其他能够证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件或短信等。这些证据在劳动争议仲裁或诉讼中，可以作为证明劳动关系存在的重要依据。
申请劳动仲裁确认劳动关系：
- 如果农民工无法直接收集到足够的证据，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求确认与私企之间存在劳动关系。仲裁委员会会根据双方提供的证据和陈述，进行裁决。
二、申请工伤认定的流程
准备申请材料：
- 农民工在收集到证明劳动关系的证据后，应准备工伤认定申请表、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等相关材料。
向社保部门提交申请：
- 农民工应向当地社会保险行政部门提交工伤认定申请，并附上相关证据材料。社会保险行政部门会在受理申请后，进行调查核实，并在一定期限内作出工伤认定决定。
三、工伤赔偿的索赔途径
与私企协商赔偿：
- 在工伤认定决定作出后，农民工可以与私企就工伤赔偿事宜进行协商。如果私企愿意承担赔偿责任，双方可以签订赔偿协议，并按照协议履行。
申请劳动仲裁索赔：
- 如果私企拒绝承担赔偿责任或双方无法就赔偿事宜达成一致，农民工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求私企支付工伤赔偿。仲裁委员会会根据双方提供的证据和陈述，进行裁决。
提起民事诉讼索赔：
- 如果农民工对仲裁裁决不服或私企不履行仲裁裁决，农民工可以向人民法院提起民事诉讼，请求私企支付工伤赔偿。法院会根据双方提供的证据和法律规定，进行判决。
四、法律建议
及时收集证据：
- 农民工在发生工伤后，应尽快收集能够证明劳动关系的证据，以免因时间拖延而导致证据灭失或难以收集。
依法申请工伤认定：
- 农民工应在法定期限内向社会保险行政部门申请工伤认定，以确保自己的权益得到及时保障。
寻求法律援助：
- 如果农民工在工伤赔偿索赔过程中遇到困难或问题，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以获取更专业的法律帮助和支持。
举例说明：假设农民工小张在私企工作期间发生工伤，但私企未与其签订劳务合同且拒绝承担赔偿责任。小张可以收集工资支付记录、工作证、同事证言等证据来证明劳动关系，并向当地社会保险行政部门申请工伤认定。在工伤认定决定作出后，小张可以与私企协商赔偿事宜或申请劳动仲裁索赔。如果私企仍拒绝承担赔偿责任，小张可以向人民法院提起民事诉讼来维护自己的合法权益。
进一步思考：在实际操作中，农民工可能会遇到各种复杂情况，如私企否认劳动关系、拒绝提供工资支付记录等。因此，农民工在收集证据和申请工伤认定过程中，应保持谨慎和耐心，并寻求专业律师的帮助和支持。同时，政府和社会各界也应加强对农民工权益的保护和宣传，提高农民工的法律意识和维权能力。